Свойства объектов и их переходные процессы

Вид переходного процесса в объекте зависит от величины и формы наносимых на него регулирующих и возмущающих воздействий, а также от его динамических свойств.

Свойства объекта необходимо знать при составлении схемы автомати­зации, выборе закона работы регулятора и определении оптимальных значе­ний его настроечных параметров. Правильный учет свойств объектов позво­ляет создавать АСР, имеющие значительно более высокие показатели каче­ства переходного процесса; недооценка же свойств объектов может привести к тому, что даже сложные схемы регулирования не смогут обеспечить требуемого качества переходного процесса. Основными свойствами объектов ре­гулирования являются самовыравнивание (саморегулирование), емкость и запаздывание.

Самовыравнивание объекта характеризует его устойчивость. Самовы­равниванием называют свойство устойчивого объекта самостоятельно устанавливаться в равновесное состояние после изменения своей входной величины. В объектах с самовыравниванием ступенчатое изменение входной величины приводит к изменению выходной величины со скоростью, постепенно уменьшающейся до нуля, что связано с наличием внутренней отри­цательной обратной связи. Количественно эта характеристика определяется степенью самовыравнивания ρ, под которой понимают отношение изменения входной величины объекта (Х, Z) к изменению выходной величины по дости­жении объектом равновесного состояния y

Чем больше степень самовыравнивания, тем меньше отклонение вы­ходной величины от первоначального положения.

Емкость объекта является свойством, присущим всем динамическим объектам. Она характеризует их инерционность — степень влияния входной величины на скорость изменения выходной. Даже ступенчатое изменение входной величины объекта приводит к изменению выходной величины с ко­нечной скоростью. Под емкостью понимают такое изменение входной вели­чины, которое приводит к изменению его выходной величины на единицу за единичный отрезок времени

Чем больше емкость, тем меньше скорость изменения выходной вели­чины объекта, и наоборот.

Запаздывание объекта выражается в том, что его выходная величина начинает изменяться не сразу после нанесения возмущения, а только через некоторый промежуток времени т, называемый временем запаздывания. Все реальные объекты обладают запаздыванием, так как изменение потоков вещества или тепла распространяется в объектах с конечной скоростью и тре­буется время для прохождения сигнала от места нанесения возмущения до места, где фиксируется изменение выходной величины. Обозначив это расстояние через l, a скорость прохождения сигнала через s, выразим время за­паздывания следующим образом:

Влияние свойств объекта на вид его переходного процесса будем изу­чать на примерах одномерных объектов с сосредоточенными параметрами.

В зависимости от вида дифференциального уравнения динамики ре­ального объекта химической технологии целесообразно различать объекты первого, второго и высокого порядков.

По способности восстанавливать равновесное состояние при конеч­ном изменении входных величин можно подразделять объекты на нейтраль­ные, устойчивые и неустойчивые (рис. II-4).

Объекты 1-го порядка широко распространены в химической про­мышленности. К ним относятся сборники жидкости, бункеры для сыпучих материалов, газовые аккумуляторы, жидкостные смесители, теплообменники смешения и т. д. Во всех этих аппаратах количество вещества или тепла за­ключено в одном резервуаре. Такие объекты обладают способностью ак-кумулировать (накапливать) проходящие через них вещество или тепло в пе­реходном режиме. Это выражается в том, что рассогласование потоков на входе и выходе при изменении, например, нагрузки вызывает изменение ко­личества вещества или

тепла в объекте, а следовательно, и выходной величины объекта. При этом скорость изменения выходной величины объекта зависит от аккумулирую­щей способности или инерционных свойств объекта.

Нейтральные объекты 1-го порядка. В нейтральных объектах вход­ные величины влияют на выходные, а последние не влияют на входные вели­чины, т. е. внутренняя обратная связь отсутствует.

В качестве примера такого объекта рассмотрим резервуар (см. рис. II-1),из которого насосом откачивается жидкость, причем производительность F_p постоянна.

Для нахождения зависимости уровня жидкости в аппарате L от вход­ных величин F_пр и F_p (в м³/с) составим уравнение материального баланса ап­парата:

где V — объем Жидкости в аппарате, м³; t — время, с. Отсюда ско­рость изменения объема жидкости в аппарате:

Скорость изменения уровня жидкости L, если площадь го-ризонтального сечения аппарата А (в м²) неизменна по высоте

Таким образом, скорость изменения уровня в резервуаре пропорцио­нальна разности потоков жидкости на входе и выходе. Уровень жидкости принимает постоянные значения во времени (скорость dL/dt=0) только при отсутствии рассогласования потоков F_пр и F_p.

Проинтегрируем уравнение (II,6) в пределах от 0 до t

Следовательно, выходная величина объекта пропорциональна инте­гралу от изменения его входных величин.

При ступенчатом изменении нагрузки объекта на величину ∆F уро­вень жидкости L изменяется по зависимости (рис, II-5):

Как следует из уравнения (II,8), скорость изменения выходной вели­чины при ступенчатом возмущении ∆F постоянна и равна

При расчетах систем автоматизации уравнение динамики объекта представляют в относительных величинах. Предполагая, что F_nр является возмущением, a F_p — регулирующим воздействием (см. рис. II-1), имеем

где L₀ и F₀ — значения соответствующих величин при равновесном состоянии объекта.

Записав уравнение (II,6) в приращениях и введя относительные вели­чины, получим уравнение динамики:

Из уравнения (II,11) видно, что отношение AL0/F₀ имеет размерность времени. Его называют временем разгона объекта и обозначают через T _ε. Под этим термином донимают время, в течение которого выходная величина объ­екта у, изменяясь с постоянной скоростью, достигает значения входной ве­личины z. Время разгона T _ε прямо пропорционально емкости объекта и ха­рактеризует его инерционные свойства.

Заменяя коэффициент в левой части уравнения (II,11) через T _ε, полу­чим уравнение динамики нейтрального объекта первого порядка в общем ви­де

Интегрируя уравнение (II,12), найдем

В нашем случае х=0. Величину, обратную T _ε, часто называют скоро­стью разгона объекта ε, под которой понимают скорость изменения выход­ной величины у при предварительном ступенчатом изменении входной вели­чины z, равном единице.

Действительно, при единичном ступенчатом возмущений z—x=l(t) измене­ние выходной величины у подчиняется зависимости:

Передаточная функция нейтрального объекта первого порядка

В динамическом отношении такой объект представляет собой инте­грирующее звено.

Нейтральным объектам первого порядка присущи только емкостные (инерционные) свойства, что выражается, например при регулировании уровня L, степенью влияния величины F_np—F_p на скорость dL/dt. Это влияние зависит от площади поперечного сечения аппарата. При большем значении А скорость изменения уровня меньше и наоборот (см. рис. II-5).

Для рассмотренного выше аппарата емкость равна

Из сравнения уравнений (II,6) и (II,16) следует, что емкость резервуа­ра численно равна площади его горизонтального сечения. Единицей измере­ния емкости в данном случае является м².

Емкость объектов зависит от протекающих в них процессов. Так ем­кость тепловых объектов, в которых осуществляется теплообмен при регули­ровании в них температуры, находят по изменению теплового потока ∆q, Вт, вызывающего приращение температуры T на 1 °С в течение 1 ч:

Емкость аппарата зависит от теплоемкости с_т, находящегося в нем продукта. Единицей измерения емкости теплового объекта является Дж/°С.

Устойчивые объекты 1-го порядка. Если жидкость из рассмотренного выше резервуара не откачивать насосом, а отводить самотеком по трубопро­воду, на котором имеется дополнительное гидравлическое сопротивление, например вентиль, то при рассогласовании потоков на входе и выходе регу­лируемая величина (уровень) будет самостоятельно устанавливаться в новом равновесном состоянии.

При ступенчатом увеличении притока жидкости F_пр а величину ∆F (рис. II-6) уровень L в аппарате в первый момент начнет изменяться, как и в случае нейтрального объекта (см. пунктир), со скоростью определяемой ра­венством (II,9).Но при повышении уровня возрастает гидростатический напор, что

Рис. II-6.

Рис. II-7. Структурная схема устойчивого объекта 1-го порядка.

в свою очередь увеличит расход жидкости из аппарата F_p; его зависимость от уровня L:

где α — коэффициент расхода вентиля; А — площадь его проходного сечения; g — ускорение свободного падения.

С увеличением F_p величина возмущения ∆F = F_пр—F_p, а, следователь­но, и скорость изменения уровня уменьшаются. Со временем расход жидко­сти постепенно достигнет текущего значения притока, повышение ее уровня, изменяющегося по экспоненте, прекратится и наступит новое равновесное состояние объекта, но при более высоком значении уровня L∞. Аналогичным образом при ступенчатом уменьшении F_np уровень L начнет понижаться, что обусловит уменьшение расхода F_p, вследствие уменьшения гидростатическо­го напора. Со временем между расходом и притоком жидкости восстанавли­вается равенство, но при более низком уровне.

Устойчивость объектов объясняется наличием в них отрицательной обратной связи. В частности, в рассматриваемом объекте обратная связь определяется равенством (II,18).

Для нахождения передаточной функции звена обратной связи лине­аризуем зависимость (II,18), разлагая ее в ряд Тейлора в окрестности точки с координатами (L_o, F_po)

откуда

Учитывая равенства (II,10) и (II,18), окончательно получим:

где k_oc= 1/2.

Таким образом, в данном случае обратная связь соответствует усили­тельному звену с коэффициентом усиления 1/2.

Структурная схема устойчивого объекта 1-го порядка приведена на рис. II-7. Интегрирующее звено с передаточной функцией 1/Т_εр охватывается звеном отрицательной обратной связи с передаточной функцией k_ос. Переда­точная функция такого объекта имеет вид

где k=1/k_oc — коэффициент усиления объекта; T₀ = T_ε / k_ос - постоянная времени объекта, под которой понимают время, в течение которого выходная величина достигла бы своего нового установившегося значения, если бы она изменялась с постоянной скоростью, равной скорости ее изменения в началь­ный момент времени. При t = T_Q выходная величина составляет 63% нового установившегося значения. Постоянная времени объекта определяется как проекция на ось времени отрезка касательной к экспоненте, заключенного между точкой касания и точкой пересечения касательной с линией устано­вившегося значения выходной величины (см. рис. II-6,б). Длина этой про­екции одинакова для касательных, проведенных к любой точке экспоненты.

Постоянная времени объекта Т_о определяет его динамические свой­ства. Чем она больше, тем медленнее протекает переходный процесс в объек­те, и наоборот.

В соответствии с передаточной функцией (11,20) уравнение динамики устойчивого объекта первого порядка имеет вид

Переходная характеристика этого объекта аналогично выражению (I,28) будет равна

Таким образом, рассматриваемый объект представляет собой аперио­дическое звено первого порядка, коэффициент усиления k которого равен ве­личине, обратной коэффициенту усиления обратной связи, а постоянная вре­мени Т₀ отношению времени разгона интегрирующего звена к коэффици­енту усиления обратной связи.

Таблица II.I. Основные характеристики объектов химической техно­логии по каналу х→y

Емкостные свойства устойчивых объектов 1-го порядка аналогичны свойствам нейтральных объектов 1-го порядка.

Для устойчивых объектов степень самовыравнивания ρ>0, для нейтральных объектов ρ = 0. Переходные характеристики объектов 1-го по­рядка, обладающих различной степенью самовыравнивания, показаны на рис. II-8.

Основные характеристики объектов химической технологии 1-го по­рядка приведены в табл. II.1.

Объекты 2 -го порядка. В таких объектах вещество или тепло заклю­чено в двух объемах, разделенных сопротивлением. Примерами этих объек­тов являются теплообменник, в котором тепло передается через стенку от одной жидкости к другой; два сообщающихся между собой сосуда с жидко­стью и т. д.

Рассмотрим систему, состоящую из двух аппаратов, соединенных трубопроводом, на котором установлен, вентиль (рис. II-9). Входными вели­чинами этого объекта являются потоки.жидкости F_np и F_Py а выходной — изменение уровня жидкости L

Рис. II-8. Переходные характеристики объектов 1-го порядка, обла­дающих различной степенью самовыравнивания.

в правом аппарате. При малом гидравлическом сопротивлении; вен­тиля на трубопроводе, соединяющем аппараты, уровни жидкости в аппаратах будут изменяться практически одинаково, и такую систему можно рассчиты­вать как объект 1-го порядка, объем которого равен сумме объемов обоих ап­паратов. При существенном сопротивлении вентиля эту систему следует рас-сматривать как объект 2-го порядка.

Нейтральные объекты 2-го порядка. Если объект состоит из двух ап­паратов, откуда жидкость отводится насосом с постоянной производительно­стью, то он нейтрален. Переходная характеристика нейтрального объекта 2-го порядка приведена на рис. II-10, а. Пунктиром показано изменение уровня у₁ в левом аппарате, а сплошной линией — уровня у в правом. При повы-шении уровня у₁ появляется гидростатический напор, под действием которо­го жидкость перетекает по соединительному трубопроводу. Скорость изме­нения уровня у в первый момент равна нулю, а затем постепенно повышается и достигает постоянного значения, равного dy₁/dt. Нейтральный объект 2-го порядка может быть представлен последовательно соединенными интегри­рующим и апериодическим звеньями 1-го порядка (рис. II-10,б).

Устойчивые объекты 2-го порядка. Если жидкость отводится из объ­екта самотеком через гидравлическое сопротивление, то объект устойчив. Его переходная характеристика имеет вид, приведенный на рис. II-11,а. Сна­чала выходная величина объекта

Рис. II-9. Схема резервуара для жидкости — объекта 2-го порядка. няется со все более увеличивающейся скоростью затем, вследствие умень­шения перепада давления на сое тельном вентиле, скорость изменения уров­ня у посте уменьшается до нуля. Такой объект может быть представлен дву­мя последовательно соединенными апериодическими функциями первого порядка (рис. II-11,б).

Основные характеристики объектов химической технологии имеющих 2-ой порядок, см. в табл. ПЛ.

Объекты высокого порядка. С повышением порядка объекта реаги­рует на возмущения все более замедленно. Изменение выходной величины в таких объектах при одинаковом значении степени самовыравнивания приве­дено на рис. II-12, а.Их поведение в динамике идентично поведению цепоч­ки последовательно соединенных апериодических звеньев (рис. II-12,б).

Неустойчивые объекты. Если при нарушении равенства притока и расхода вещества или энергии через объект скорость изменения технологи­ческой величины постепенно увеличивается, то такой объект неустойчив. Примером неустойчивого объекта может служить химический реактор идеального перемешивания, в котором протекает экзотермическая реакция. Если тепло реакции будет превышать тепло, отводимое системой охлажде­ния, то температура в реакторе начнет повышаться, при этом возрастет сте­пень превращения реагентов, что в свою очередь приведет к дальнейшему повышению температуры в реакторе, скорость изменения которой будет рас­ти. Такое поведение реактора в переходном режиме объясняется наличием в нем внутренних положительных обратных связей.

Рис. II-10. Переходная характеристика (а) и структурная схема (б) нейтрального

объекта 2-го порядка. Рис. II-11. Переходная характеристика (а) и структурная схема (б) устойчивого объекта 2-го порядка.

перемешивания, в котором протекает экзотермическая реакция. Если тепло реакции будет превышать тепло, отводимое системой охлаждения, то темпе­ратура в реакторе начнет повышаться, при этом возрастет степень превраще­ния реагентов, что в свою очередь приведет к дальнейшему повышению тем­пературы в реакторе, скорость изменения которой будет расти. Такое пове­дение реактора в переходном режиме объясняется наличием в нем внутрен­них положительных обратных связей.

Объекты с запаздыванием. Ранее все объекты рассматривались при условии, что их выходная величина начинает изменяться сразу же после нанесения на объект возмущения. Однако в большинстве своем объекты хи­мической технологии обладают запаздыванием. Оно достигает довольно больших значений (порядка нескольких десятков минут) в объектах, где про-текают тепло- и массообменные процессы, и невелико (всего несколько се­кунд) в объектах, выходные величины которых представляют собой расход или давление жидкостей или газов.

Примером объекта, обладающего запаздыванием, является ленточный питатель сыпучего материала, схема которого приведена на рис. II-13. Мате­риал из бункера 1 подается транспортером 3 в приемный аппарат 4. Входной величиной транспортера является поступление сыпучего материала на ленту, количество которого зависит от положения заслонки 2, а выходной— сброс материала в аппарат. Запаздывание ленточного транспортера τ определяется отношением длины ленты l к скорости ее движения. При расчетах запазды­вание в объектах учитывают посредством последовательного введения звена запаздывания в соответствующий канал прохождения сигнала в объекте. Ос­новные характеристики химико-технологических объектов с запаздыванием приведены в табл. II.1.

Переходные характеристики нейтрального (1) и устойчивого (2) объ­ектов 1-го порядка с запаздыванием показаны на рис. 11-14, а.

Рис. II-12. Переходные характеристики (а) и структурная схема (б) устойчивых объектов

высокого порядка: 1—4 — характеристики объектов, соответствующие их порядкам.

Рис. II-13. Ленточный питатель сыпучего материала: 1 — бункер; 2 — заслонка; 3 — транспортер; 4 — приемный аппарат.

От характеристик без запаздывания они отличаются наличием начального участка длительностью τ, в течение которого выходная величина объекта не изменяется. (Величину τ называют также транспортны запаздыва­нием). Определение времени запаздывания ясно из рисунка. Уравнения дви­жения этих объектов соответственно имеют вид:

На рис. 11-14,6 даны переходные характеристики нейтрального (3) и устойчивого (4) объектов 2-го порядка с запаздыванием. При расчетах АСР переходные характеристики объектов 2-го порядка с запаздыванием иногда представляют в виде переходных характеристик объектов 1-го порядка с за­паздыванием. При этом инерционные свойства объектов 2-го порядка ча­стично отражают дополнительной величиной запаздывания, называемого пе­реходным.

Структурные схемы нейтрального и устойчивого объектов 1-го и 2-го порядков с запаздыванием, а также передаточные функции составляющих их звеньев приведены на рис. II-15.