Двухшаговый метод наименьших квадратов

Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК) применяется как к точно идентифицированной, так и к сверхидентифицированной системе.

Применение метода предусматривает следующие шаги:

1. Построение приведенной формы модели (ПФМ).

2. Для каждого уравнения структурной формы модели выполняются следующие действия:

· находят эндогенные переменные, являющиеся факторными признаками (стоят в правой части уравнения);

· для этих переменных определяют их выровненные значения , используя соответствующее уравнение ПФМ;

· находят параметры рассматриваемого уравнения структурной формы модели обычным МНК, заменяя исходные значения эндогенных переменных-факторов их выровненными значениями.

Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

1) все уравнения системы сверхидентифицируемы;

2) система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения.

Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то вычисление структурных коэффициентов возможно из системы приведенных уравнений.

Пример 5.3.

Имеются квартальные данные об объемах валового внутреннего продукта (, трлн. руб.), расходов на конечное потребление (, трлн. руб.), валового накопления (, трлн. руб.) и чистого экспорта (, трлн. руб.).

Таблица 5.7 Динамика внутреннего валового продукта по кварталам

Номер наблюдения	Год, квартал	ВВП_t	КП_t	ВН_t	Э_t
	2003, 1 квартал	330,10	260,15	43,40	26,55
	2003, 2 квартал	341,60	248,27	73,10	20,22
	2003, 3 квартал	395,70	266,59	124,23	4,89
	2003, 4 квартал	361,10	251,42	105,49	4,19
	2004, 1 квартал	322,80	257,22	55,71	9,87
	2004, 2 квартал	330,10	254,48	64,34	11,28
	2004, 3 квартал	374,00	244,54	116,24	13,22
	2004, 4 квартал	350,10	240,90	86,66	22,55
	2005, 1 квартал	321,40	255,54	52,31	13,55
	2005, 2 квартал	327,30	257,72	63,56	6,01
	2005, 3 квартал	384,70	266,72	112,83	5,16
	2005, 4 квартал	362,60	278,34	77,86	6,39
	2006, 1 квартал	316,70	247,37	73,12	-3,79
	2006, 2 квартал	324,20	237,30	87,60	-0,70
	2006, 3 квартал	350,80	270,15	62,16	18,49
	2006, 4 квартал	329,70	275,55	-6,67	60,82
	2007, 1 квартал	310,80	244,14	23,93	42,73
	2007, 2 квартал	334,20	232,50	51,61	50,09
	2007, 3 квартал	390,90	242,69	89,33	58,87
	2007, 4 квартал	369,40	244,74	41,35	83,31
	2008, 1 квартал	346,30	221,76	40,13	84,41
	2008, 2 квартал	368,40	222,53	61,49	84,38
	2008, 3 квартал	432,00	253,44	99,66	78,90
	2008, 4 квартал	399,80	250,08	85,17	64,55
	2009, 1 квартал	347,10	235,57	46,33	65,21
	2009, 2 квартал	364,15	242,31	70,86	50,98
	2009, 3 квартал	424,67	261,28	116,53	46,86
	2009, 4 квартал	399,80	265,24	100,71	33,85
	2010, 1 квартал	363,31	271,79	53,62	37,90
	2010, 2 квартал	382,50	269,36	69,12	44,02
	2010, 3 квартал	450,21	289,35	111,53	49,33
	2010, 4 квартал	417,90	287,06	87,79	43,05
	2011, 1 квартал	377,14	271,76	50,60	54,77
	2011, 2 квартал	399,38	279,64	74,57	45,17
	2011, 3 квартал	470,24	295,94	127,63	46,66
	2011, 4 квартал	443,71	300,05	97,98	45,68
	2012, 1 квартал	405,83	298,01	58,24	49,58
	2012, 2 квартал	431,29	296,59	80,61	54,09
	2012, 3 квартал	499,50	316,51	122,58	60,42
	2012, 4 квартал	478,06	306,31	112,89	58,86
	2013, 1 квартал	435,47	314,10	60,92	60,45
	2013, 2 квартал	463,66	309,69	84,13	69,83
	2013, 3 квартал	535,01	336,24	127,61	71,15
	2013, 4 квартал	510,18	318,43	128,26	63,49

На основе данных была построена модель:

где — объем за аналогичный квартал предыдущего года.

Выполним проверку системы на идентификацию с помощью необходимого условия.

Для первого уравнения имеем:

· количество эндогенных переменных, входящих в это уравнение, равно двум ( и _t), ;

· количество предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, равно двум ( и ), .

, следовательно, уравнение сверхидентифицировано.

Для второго уравнения имеем:

· количество эндогенных переменных, входящих в это уравнение, – одна (), ;

· количество предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, – одна (),

, следовательно, уравнение сверхидентифицировано.

Третье уравнение является тождеством и на идентификацию не проверяется.

Поскольку оба уравнений системы сверхидентифицированы, то и система сверхидентифицирована.

Выполним проверку системы на идентификацию с помощью достаточного условия.

Определим матрицу коэффициентов при переменных, отсутствующих в первом уравнении (, , ):

Определитель данной матрицы не равен нулю, ранг матрицы равен двум, что на единицу меньше количества эндогенных переменных в системе. Таким образом, достаточное условие соблюдается.

Определим матрицу коэффициентов при переменных, отсутствующих во втором уравнении (, , ):

Ранг данной матрицы равен 2, следовательно, достаточное условие соблюдается.

Обобщая выводы относительно идентификации системы, получаем, что система имеет решение и является сверхидентифицированной.

Для нахождения ее коэффициентов применим двухшаговый метод наименьших квадратов.

1 шаг. Запишем приведенную форму модели:

Вычисление параметров каждого уравнения этой модели с помощью МНК проведем по укороченным рядам: все показатели, кроме берутся с пятого по 44 наблюдение, а показатель — с первого по 40-е наблюдение (табл.5.7).

В результате система уравнений примет вид:

2 шаг. Рассмотрим уравнения структурной формы модели (СФМ).

В первом уравнении СФМ эндогенной переменной-фактором является переменная . Найдем ее выровненные значения по первому уравнению ПФМ.

Таблица 5.8 Расчет выровненный значений

Номер наблюдения	ВВП_t_-4	Э_t	Выровненные значения ВВП_t
	330,10	9,87
	341,60	11,28
	395,70	13,22
	361,10	22,55
	322,80	13,55
	330,10	6,01
	374,00	5,16
	350,10	6,39
	321,40	-3,79
	327,30	-0,70
	384,70	18,49
	362,60	60,82
	316,70	42,73
	324,20	50,09
	350,80	58,87
	329,70	83,31
	310,80	84,41
	334,20	84,38
	390,90	78,90
	369,40	64,55
	346,30	65,21
	368,40	50,98
	432,00	46,86
	399,80	33,85
	347,10	37,90
	364,15	44,02
	424,67	49,33
	399,80	43,05
	363,31	54,77
	382,50	45,17
	450,21	46,66
	417,90	45,68
	377,14	49,58
	399,38	54,09
	470,24	60,42
	443,71	58,86
	405,83	60,45
	431,29	69,83
	499,50	71,15
	478,06	63,49

После этого применим к первому уравнению СФМ метод наименьших квадратов, используя в качестве исходной информации значения эндогенной переменной-результата () и выровненные значения эндогенной переменной фактора (). В результате получим:

Фактическое значение -критерия Стьюдента для коэффициента регрессии в этом уравнении равно 7,95, табличное 2,0244 (), следовательно коэффициент при переменной значим. Значимо и уравнение в целом ().

Второе уравнение не содержит эндогенный переменных-факторов, поэтому его параметры можно найти, применяя к нему обычный МНК. В результате получим следующее уравнение регрессии: