Сложение колебаний

Из теорий гармонического анализа известно, что любую периодическую функцию f (x), имеющую период 2π, можно представить в виде тригонометрического ряда:

где a ₀, a_n, b_n - коэффициенты этого ряда, определяемые по формулам:

Следовательно, любое сложное колебание можно представить как сумму нескольких простых. Чтобы знать, как зависят параметры сложного колебания от соотношения частот, амплитуд, фаз и направлений слагаемых колебаний, рассмотрим наиболее простые случаи сложения гармонических колебаний.

1. Сложение двух колебаний одного направления.

а) сложение 2-х колебаний одинаковой частоты.

ω₁ = ω₂ = ω, Т₁= Т₂= Т Уравнения колебаний отличаются только начальной фазой и амплитудой и имеют вид:

Представим оба колебания в виде векторов амплитуды Х₀₁ и Х₀₂, Сложение векторов выполним графически.

Отложим от точки 0 под углом φ₁ – вектор Х₀₁, под углом φ₂ – вектор Х₀₂. Обе амплитуды вращаются с одинаковой угловой скоростью и против часовой стрелки. Следовательно, угол между амплитудами остается постоянным, равным (φ₂– φ₁). Вектор Х₀ представляет собой гармоническое колебание, происходящее с той же частотой и амплитудой │Х₀│= │Х₀₁+ Х₀₂│ и начальной фазой φ. Из чертежа

Само результирующее колебание имеет вид:

Важно заметить, что амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ₂– φ₁) слагаемых колебаний.

Она заключена в пределах:

1) Если разность начальных фаз слагаемых колебаний, равна четному числу π, φ₂– φ₁= к π, то Х₀ = Х₀₁ + Х₀₂, tg φ = tg φ₁, φ = φ₁, к = 0,1,2, …

Колебания однофазные и усиливают друг друга.

2) Если φ₂– φ₁= (2 к+ 1)π, то Х₀ = Х₀₁ - Х₀₂, к = 0,1,2,… следовательно колебания ослабляют друг друга

3) Если Х₀₁ = Х₀₂, ω₁ = ω₂ = ω, φ₂= φ₁

Уравнение результирующего колебания имеет вид:

– начальная фаза результирующего колебания.

Результирующее колебание гармоническое, отличающееся по фазе от слагаемых колебаний на половину суммы их начальных фаз.

При φ₁– φ₂= 2 к π, (к = 0,1,2,…) Х₀ = 2Х₀₁ – колебания усиливаются.

При φ₁– φ₂= (2 к + 1)π, (к = 0,1,2,…) Х₀ = 0 – колебания гасятся.

2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

1) Рассмотрим движение точки М₁, участвующей одновременно в 2-х взаимно перпендикулярных колебаниях, частоты которых ω₁ и ω₂ равны (ω₁ = ω₂ = ω), амплитуды соответственно а и в.

Колебательный процесс в этом случае описывается системой уравнений:

где φ – угол сдвига фаз.

Для определения уравнения траектории движения точки из системы уравнений исключим время. Из первого уравнения

Второе уравнение перепишем в виде:

Подставив вместо sin ωt и cos ωt их значения будем иметь уравнение движения

Исследуем некоторые частные случаи.

а) при равенстве частот имеет место еще и равенство фаз, т.е. φ = 0.

Уравнение траектории имеет вид

Уравнение прямой, проходящей через начало координат под углом ά:

Смещение от начала координат определяется уравнением

Т.к. уравнение слагаемых колебаний имеет вид

Таким образом результирующее движение является гармоническим колебанием.

б) составляющая колебания отличается по фазе на π/2. Уравнение траектории имеет вид:

отсюда

- эллипс с плоскостями a и b.

При равенстве амплитуд траектории представляют собой окружность.

2) При сложении взаимно перпендикулярных колебаний, частоты которых кратны между собой, например ω₁: ω₂ = 1/2, 2/3 и т.д. = m / n,

где m и n – целые числа, колеблющееся тело описывает сложные кривые (наз. Фигурами Лисажу), форма которых определяется отношением частот складываемых колебаний, их амплитудой и разностью фаз между ними

ω₁: ω₂ = 2: 1 ω₁: ω₂ = 3: 2