Решение нелинейных уравнений

Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложно, то его сравнительно редко удается решить аналитическими методами. Более того, в некоторых случаях коэффициенты уравнения известны лишь приближенно, и сама задача о точном определении корней теряет смысл. Поэтому важное значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки их точности. Пусть дано уравнение:

где функция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале . Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что f(ξ) = 0, называется корнем уравнения. Будем предполагать, что уравнение имеет лишь изолированные корни, т.е. для каждого из них существует окрестность D, не содержащая другие корни (рис. 26). Решить уравнение численными методами – это значит определить, имеет ли оно корни, сколько их и найти корни с заранее заданной точностью. Для решения уравнений вида разработано много различных итерационных методов. Сущность этих методов заключается в следующем.

Рисунок 26 – Решение уравнения

Пусть известна достаточно малая область D, в которой содержится единственный корень ξ уравнения. В этой области выбирается точка x0 – начальное приближение – и строится последовательность точек x1,x2,…xn,…, сходящаяся к ξ, с помощью некоторого рекуррентного соотношения:

Рекуррентное вычисление повторяется до тех пор, пока абсолютное значение разницы между двумя последовательными значениями х не станет меньше некоторого значения е, называемого точностью:

Выбирая различными способами функции φk, которые зависят от функции f и номера k, можно получить различные методы.

Численное решение нелинейных уравнений
методом итерации

Заменим уравнение

равносильным ему уравнением

И исходное и полученное уравнения имеют одинаковый корень x (рис. 27) и называются эквивалентными.

Выберем любым способом х₀, которое затем подставим в левую часть уравнения:

Полученное значение х₁ снова подставим в левую часть и получим:

Продолжая этот процесс, получим последовательность чисел х₁, х₂,..., x_n, которая может либо сходиться, т.е. иметь предел, либо расходиться, т.е. не иметь предела. Тогда в соответствии с полученным результатом в первом случае этот предел является корнем уравнения (х ® x), во втором случае сделаем вывод о невозможности получения решения данным способом.

Рисунок 27 – Геометрическая интерпретация итерационного метода решения уравнения

Алгоритм реализации данного метода будет схож с алгоритмом рекуррентного вычисления бесконечной суммы.

Приведём программу, реализующую итерационный метод уточнения корня уравнения:

program Iter;

VAR

xp, e, x0, x:REAL;

Function f(x:real): real;

Begin

f:= x*x-2;

end;

Begin

writeln('введите начальное приближение х и точность');

read(x0,e);

x:=x0;

REPEAT

xp:=x;

x:=f(x);

UNTIL ABS(x-xp)<e;

writeln('корень уравнения =', x);

End.

В данной программе используется подпрограмма функция f, которая вычисляет левую часть преобразованного уравнения:

Переменная xp используется в программе для сохранения предыдущего значения х.

Численное решение нелинейных уравнений
методом бисекции

Метод состоит в построении последовательности вложенных отрезков, на концах которых F(х) имеет разные знаки. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Этот процесс построения последовательности вложенных отрезков позволяет найти нуль функции (F(х) = 0) с любой заданной точностью.

Опишем подробно один шаг итерации (рис. 28). Пусть на k-м шаге найден отрезок [а_k, b_k], на концах которого F(х) меняет знак. Заметим, что обязательно [а_k, b_k] Î [а, b].

1. Разделим теперь отрезок [а_k, b_k] пополам и выделим F(c_k), где c_k – середина [а_k, b_k].

2. Здесь возможны два случая:

§ первый, когда F(c_k) = 0, тогда мы говорим, что корень найден;

§ второй, когда F(c_k) ¹ 0, тогда сравниваем знак F(c_k) с F(а_k) и F(b_k) и из двух половин [аk, c_k] и [c_k, bk] выбираем ту, на концах которой функция меняет свой знак. Таким образом, а_k₊₁ = а_k, b_k₊₁ = c_k, если F(c_k)F(а_k) < 0 (рис. 27), и а_k₊₁ = c_k, b_k₊₁ = b_k, если F(c_k)F(b_k) < 0.

При заданной точности e деление пополам продолжают до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2e, тогда координата середины последнего найденного отрезка и есть значение корня требуемой точности.

Рисунок 28 – Геометрическая интерпретация решения уравнения методом бисекции
a) k–й шаг; b) k+1-й шаг.

Приведём программу, реализующую итерационный метод уточнения корня уравнения:

program Bisect;

VAR

A,B,E:REAL; X: REAL;

Function f(x:real): real;

Begin

f:= x*x-x-2;

end;

Begin

writeln('введите отрезок локализации корня [a,b] и точность');

read(a,b,e);

k:=0;

REPEAT

X:= (A+B)*0.5;

IF f(X)*f(B)<0 THEN

a:=x

Else

b:=x

UNTIL ABS(B-A)<e;

writeln('корень уравнения =', (A+B)*0.5);

END.

В данной программе используется подпрограмма функция f, которая вычисляет левую часть исходного уравнения:

Переменная x используется в программе для сохранения значения середины отрезка [a, b].

Численное решение нелинейных уравнений
методом Ньютона

Положим:

где x – корень уравнения f(x) = 0, h_n считаем малой величиной. Отсюда, применяя формулу Тейлора, получим:

Следовательно, . Подставив это выражение, получим:

Геометрическая интерпретация метода представлена на рисунке 29.

Через точку А₀(х,у) с координатами х = x₀, у = f(x₀) проводим касательную. По формуле

находим точку пересечения касательной с осью ОХ (точка х₁).

Находим точку А₁(х₁,у), проводим касательную через точку А₁ для нахождения х₂.

Этот процесс продолжаем до тех пор, пока разница |х_i₊₁-x_i| не станет меньше, чем значение e, т.е. пока не будет найдено значение корня с заданной точностью e.