Билет 19 (билет 15)

1. Твёрдое тело как система материальных точек. Момент силы, момент количества движения, момент инерции. Теорема Штейнера.

Абсолютно твердое тело - абстрактная модель тела, расстояние между двумя любыми точками которого неизменно.

1. Абсолютно твёрдое тело — модельное понятие классической механики, обозначающее совокупность точек, расстояния между текущими положениями которых не изменяются, каким бы воздействиям данное тело в процессе движения не подвергалось (поэтому абсолютно твёрдое тело не изменяет свою форму и сохраняет неизменным распределение масс).

2. Абсолютно твёрдое тело — механическая система, обладающая только поступательными и вращательными степенями свободы. «Твёрдость» означает, что тело не может быть деформировано, то есть телу нельзя передать никакой другой энергии, кроме кинетической энергии поступательного или вращательного движения.

3. Абсолютно твёрдое тело — тело (система), взаимное положение любых точек которого не изменяется, в каких бы процессах оно ни участвовало.

Вывести можно через второй закон Ньютона. Умножим на R, чтобы превратить в момент силы, скорость заменим на WR.

Момент инерции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Размерность L²MТ⁰. Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

где:

· m_i — масса i -й точки,

· r_i — расстояние от i -й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

где:

· — масса малого элемента объёма тела ,

· — плотность,

· — расстояние от элемента до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнераи голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

где

— известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

— искомый момент инерции относительно параллельной оси,

— масса тела,

— расстояние между указанными осями.

Момент инерции, по определению:

Радиус-вектор можно расписать как сумму двух векторов:

где — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

Вынося за сумму , получим:

Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:

Тогда:

Откуда и следует искомая формула:

где — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Момент инерции тела определенной формы равен массе на квадрат расстояния умножить на особый коэффициент к, который зависит от формы тела и оси вращения.

Он равен:

· Для диска, неполого цилиндра, ось через цм

1/2

· тонкое кольцо, полый цилиндр с тонкими стенками

1*масса*разница квадратов радиусов

· кольцо, поперек кольца

1/2

· диск, поперек диска

1/4

· тонкая палочка, через цм

1/12

· тонкая палочка, через край