Билет 1.2. Свободные электромагнитные колебания в контуре

Свободные электромагнитные колебания в контуре. Формула Томпсона.

Пусть конденсатор ёмкостью C заряжен до напряжения . Энергия, запасённая в конденсаторе составляет

Параллельный колебательный контур

При соединении конденсатора с катушкой индуктивности, в цепи потечёт ток

, что вызовет в катушке электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции, направленную на уменьшение тока в цепи. Ток, вызванный этой ЭДС (при отсутствии потерь в индуктивности) в начальный момент будет равен току разряда конденсатора, то есть результирующий ток будет равен нулю. Магнитная энергия катушки в этот (начальный) момент равна нулю.

Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия конденсатора . Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, максимальна и равна

, где — индуктивность катушки, — максимальное значение тока.

После этого начнётся перезарядка конденсатора, то есть заряд конденсатора напряжением другой полярности. Перезарядка будет проходить до тех пор, пока магнитная энергия катушки не перейдёт в электрическую энергию конденсатора. Конденсатор, в этом случае, снова будет заряжен до напряжения .

В результате в цепи возникают колебания, длительность которых будет обратно пропорциональна потерям энергии в контуре.

В общем, описанные выше процессы в параллельном колебательном контуре называются резонанс токов, что означает, что через индуктивность и ёмкость протекают токи, больше тока проходящего через весь контур, причем эти токи больше в определённое число раз, которое называется добротностью. Эти большие токи не покидают пределов контура, так как они противофазны и сами себя компенсируют. Стоит также заметить, что сопротивление параллельного колебательного контура на резонансной частоте стремится к бесконечности (в отличие от последовательного колебательного контура, сопротивление которого на резонансной частоте стремится к нулю), а это делает его незаменимым фильтром.

Напряжение на идеальной катушке индуктивности при изменении протекающего тока:

Ток, протекающий через идеальный конденсатор, при изменении напряжения на нём:

Из правил Кирхгофа, для цепи, составленной из параллельно соединённых конденсатора и катушки следует:

, — для напряжений,

— для токов.

Получаем:

Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора с циклической частотой собственных колебаний (она называется собственной частотой гармонического осциллятора).

Решением этого уравнения 2-го порядка является выражение, зависящее от 2 начальных условий:

где — некая постоянная, определяемая начальными условиями, называемая амплитудой колебаний, — также некоторая постоянная, зависящая от начальных условий, называемая начальной фазой.