Зависимость графиков колебаний от значения .
В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.
· Апериодичность
Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:
В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.
· Граница апериодичности
Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:
В данном случае может иметь место временный рост, но потом — экспоненциальное затухание.
· Слабое затухание
Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня
Тогда решением исходного дифференциального уравнения является
Где — собственная частота затухающих колебаний.
По другим источникам - дифференциальное уравнение затухающих колебаний.
- уравнение затухающих колебаний. (не единственное решение).
ω – частота затухающих колебаний: Период затухающих колебаний:
Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз
τ - время релаксации.
Коэффициент затухания β обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент затухания D, который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:
Логарифмический декремент затухания равен логарифму D:
Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний уменьшилась в е раз. Логарифмический декремент затухания - постоянная для данной системы величина.
Логарифмический декремент колебаний — безразмерная физическая величина, описывающая уменьшениеамплитуды колебательного процесса и равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колеблющейся величины в одну и ту же сторону:
Логарифмический декремент колебаний равен коэффициенту затухания, умноженному на период колебаний:
Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q.
Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.
Добротность Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.
Добротность Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.
Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.
Добротность — параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.
Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.
Общая формула для добротности любой колебательной системы:
,
где:
· — резонансная частота колебаний
· — энергия, запасённая в колебательной системе
· — рассеиваемая мощность.
Например, в электрической резонансной цепи энергия рассеивается из-за конечного сопротивления цепи, в кварцевом кристалле затухание колебаний обусловлено внутренним трением в кристалле, в объемных электромагнитных резонаторах теряется в стенках резонатора, в его материале и в элементах связи, в оптических резонаторах — на зеркалах.
Для последовательного колебательного контура в RLC цепях, в котором все три элемента включены последовательно:
,
где , и — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно. — частота резонанса.
Выражение часто называют характеристическим или волновым сопротивлением колебательного контура. Таким образом иное определение добротности - отношение волнового сопротивления к активному.
Для параллельного контура, в котором индуктивность, ёмкость и сопротивление включены параллельно:
,
В данном случае является входным сопротивлением параллельного контура.