Стратегия решения задачи

Находятся точки х * локальных экстремумов с помощью необходимых условий первого и второго порядка (порядок условий определяется порядком используемых производных), а также достаточных условий безусловного локального экстремума. Вычисляются значения f (х *) функции в найденных точках локальных экстремумов.

Утверждение 2.1 (необходимые условия экстремума первого порядка).

Пусть х * ∈ Rⁿ есть точка локального минимума (максимума) функции f (х) на множестве Rⁿ и f (х) дифференцируема в точке х *. Тогда градиент функции f (х) в точке х * равен нулю, т. е.

∇ f (x ^*) = 0 (2.2)

или

Определение 2. 1. Точки х *, удовлетворяющие условию (2.2) или (2.3), называются стационарными.

Утверждение 2.2 (необходимые условия экстремума второго порядка).

Пусть точка х * есть точка локального минимума (максимума) функции f (х) на множестве Rⁿ и функция f (х) дважды дифференцируема в этой точке. Тогда матрица Гессе Н (х *) функции f (х), вычисленная в точке х *, является положительно полуопределенной (отрицательно полуопределенной), т. е.

Утверждение 2.3 (достаточные условия экстремума).

Пусть функция f (х) в точке х * ∈ Rⁿ дважды дифференцируема, ее градиент равен нулю, а матрица Гессе является положительно определенной (отрицательно определенной), т. е.

Тогда точка х * есть точка локального минимума (максимума) функции f (х) на множестве Rⁿ.

Определение 2. 2. Рассмотрим определитель матрицы Гессе Н (х *), вычисленной в стационарной точке

1. Определители называются угловыми минорами.

2. Определители m -го порядка (т ≤ п), получающиеся из определителя матрицы Н (х *) вычеркиванием каких-либо (п – т) строк и (п – т) столбцов с одними и теми же номерами, называются главными минорами.

Для проверки выполнения достаточных условий экстремума и необходимых условий второго порядка используются два способа.

Первый способ (с помощью угловых и главных миноров).

А. Критерий проверки достаточных условий экстремума (критерий Сильвестра).

1.Для того чтобы матрица Гессе Н (х *) была положительно определенной (Н (х *) > 0) и точка х * являлась точкой локального минимума, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров были строго положительны:

∆ ₁ > 0, ∆ ₂ > 0, …, ∆ _n > 0. (2.8)

2. Для того чтобы матрица Гессе Н (х *) была отрицательно определенной (Н (х *) < 0) и точка х * являлась точкой локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, начиная с отрицательного:

∆ ₁ < 0, ∆ ₂ > 0, ∆ ₃ < 0, …, (–1) ⁿ ∆ _n > 0. (2.9)