Краткие теоретические сведения. Для выполнения основных операций математического анализа в программе Mathematica предусмотрен набор команд

Для выполнения основных операций математического анализа в программе Mathematica предусмотрен набор команд, как с помощью клавиатуры, так и помощью палитр BasicInput и BasicCalculations. В таблицах 3-7 рассмотрены примеры реализации наиболее часто используемых действий, верхняя строка примеров представляет собой команду ввода, нижняя – вывода.

Таблица 3 – Нахождение пределов

Действие	Реализация
Нахождение пределов
Нахождение предела
Нахождение односторонних пределов
Нахождение предела слева	¥
Нахождение предела справа	-¥

Таблица 4. Нахождение сумм рядов

Набор с помощью клавиатуры	Набор с помощью палитры
Нахождение сумм рядов
Вычисление суммы в численном виде
0.644934	0.644934

Замечание 1. Набор с помощью шаблонов палитр упрощает и ускоряет набор команд, а также уменьшает количество ошибок при наборе, так как шаблоны функций соответствуют общепринятым в математике обозначениям.

Замечание 2. Если программа Mathematica получит результат о расходимости ряда, то перед строкой вывода появится замечание: Sum does not converge, а строка вывода повторит запись исходного ряда.

Замечание 3. Если программа Mathematica не может вычислить аналитически, к чему именно сходится заданный ряд, но «считает», что он сходится, то строка вывода повторит запись исходного ряда. В этом случае можно рекомендовать получить результат численно.

Пример. С вычислением аналитически, к чему именно сходится ряд вида , программа Mathematica не «справилась», но «считает», что он сходится (замечание «Sum does not converge» не появилось). Строка вывода повторяет запись исходного ряда, численно был получен следующий результат:

1.58462+0.ä

Таблица 5 – Дифференцирование

Набор с помощью клавиатуры	Набор с помощью палитры
Нахождение производной
D[Sin[x],x] Cos[x]	Cos[x]
Нахождение производной высших порядков
24 x	24 x
Нахождение смешанной производной
Нахождение полного дифференциала

Замечание 4. Даже если задана функция от одной переменной, в команде нахождения производной необходимо указать переменную дифференцирования.

Таблица 6 – Интегрирование

Набор с помощью клавиатуры	Набор с помощью палитры
Нахождение неопределенного интеграла
Integrate[Sin[x],x] -Cos[x]	Sin[x]âx -Cos[x]
Вычисление определенного интеграла
Вычисление повторного интеграла
-4	-4
Численное интегрирование
0.904524	0.904524

Замечание 5. Если программа Mathematica не может вычислить опреде-ленный интеграл аналитически, то строка вывода повторяет запись исходного интеграла. В этом случае можно рекомендовать получить результат численно.

Таблица 7 – Решение дифференциальных уравнений и систем уравнений

Аналитическое решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений с начальными условиями

DSolve[{y''[x]+ 2y'[x]-3y[x]Š0,y[0]Š2,y'[0]Š1},y[x],x]

Решение систем дифференциальных уравнений

DSolve[{z'[x]Šz[x]-3y[x],y'[x]Š3z[x]+y[x]},{y[x],z[x]},x]

Решение систем дифференциальных уравнений с начальными условиями

DSolve[{z'[x]Šz[x]-3y[x],y'[x]Š3 z[x]+y[x],y[0]Š0,z[0]Š1}, {y[x],z[x]},x]

Замечание 6. При вводе функции DSolve следует обратить внимание на то, что и дифференциальные уравнения, и начальные условия записываются с двумя знаками равенства.

Замечание 7. При решении дифференциальных уравнений программа Mathematica часто выводит результат в очень громоздкой форме, которую можно значительно упростить, используя функцию Simplify. При этом сам результат можно не вносить в эту функцию как аргумент, а воспользоваться знаком %, т.е. Simplify[%]. Знак % означает ссылку на результат предыдущей по номеру строки.

Пример

DSolve[y''[x]+2y'[x]+10y[x]Š3Cos[x]+Sin[x],y[x],x]

Simplify[%]

Замечание 8. Часто решение дифференциальных уравнений можно получить только в неявном виде, то есть решение, в котором функцию y невозможно выразить с помощью функции от x. Это может быть даже простое уравнение с разделяющимися переменными. Если при этом решение можно получить в явном виде относительно x, то имеет смысл в функции DSolve задать x как функции от y. Тогда программа Mathematica, возможно, «справится» с этим дифференциальным уравнением.

Пример

Относительно функции y программа Mathematica не может решить следующее дифференциальное уравнение:

А относительно функции x программа Mathematica выдает следующий результат:

{{x[y]®Log[C[1]+Log[y]+Sin[y]]}}

Замечание 9. Следует помнить, что константы С[1], C[2] и т.д. в программе Mathematica могут быть выражены не таким же образом, как при решении пользователем.