Понятия неравенства с одной переменной. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильных неравенствах (доказательство одной по выбору студента)

Пусть f (x) и g (x) – два выражения с переменной x и областью определения X, тогда предложение вида f (x) ˃ g (x) или f (x) ˂ g (x) называется неравенством с одной переменной, а множество X – областью его определения.

Пример: х + 2 ˃ 4

(2 - х) * 2 ˂ х (х + 1,5) - 4

С точки зрения математической логики, неравенство с одной переменной является высказывательной формой.

Опр: Значение переменной х из множества Х, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется решением.

Решить неравенство, значит найти множество его решений.

Опр: Два неравенства называются равносильными, если множества их решений равны.

Теорема 3. Пусть неравенство f (x) ˂ g (x) задано на множестве Х и выражение с переменной х h (x) определено на том же множестве Х. тогда f (x) + h (x) ˂ g (x) + h (x) ˂=˃ f (x) ˂ g (x) равносильно данному на множестве Х.

Пусть Т₁- это множество решений первого неравенства; Т₂ – множество решений второго неравенства. Доказать: Т₁ = Т_2.

1. х₁€ Т₁ возьмите произвольный элемент х₁€ Т₁ =˃ х₁ – решение 1ого неравенства =˃ =˃ f (x₁) ˂ g (x₁) – и.ч.н. =˃Т₁ с Х } =˃ х₁ € Х =˃ h (x₁) – числовое выражение имеющие смысл.

=˃ воспользуемся свойством и.ч.н (истинных числовых неравенств): если к обеим частям и.ч.н прибавить одно и то же числовое выражение, то получим и.ч.н f (x₁) + h (x₁) ˂ g (x₁) + h (x₁) =˃ x₁ – решение второго неравенства =˃ х₁ € Т₂. Итак (х₁ € Т₁ =˃ х₁ € Т₂) =˃ Т₁ с Т₂.

2. Х₂€ Т₂ =˃ х₂ – решение второго уравнения =˃

=˃ f (x₂) + h (x₂) ˂ g (x₂) + h (x₂) – л.ч.н. =˃ h(x₂) – числовое выражение имеющее смысл. =˃ f(x₂) + h (x₂) – h (x₂) ˂ g (x₂) + h (x₂) - h (x₂) – и.ч.н =˃ f(x₂) ˂ g (x₂) – и.ч.н =˃ x₂ – решение 1ого неравенства =˃ х₂ € Т₂.

Итак, (х₂ € Т₂ =˃х₂ € Т₁) =˃Т₂ с Т₁

3. Т₁ с Т₂=˃ Т₁ = Т₂ =˃ 1ое неравенство ˂=˃ 2ому неравенству ч.т.д.

Т₂ с Т₁

Следствия:

1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же действительное число то получим неравенство, равносильное данному.

2. Если какое либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак этого слагаемого на противоположный то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 4. Пусть неравенство f (x) ˂g (x) задано на множестве Х и h (x) - выражение определенное на том же множестве и принимающее на этом множестве положительное значение h (x) ˃ 0 ɏ x € X. когда неравенство f(x) * h (x) ˂ y (x) * h (x) ˂=˃ f (x) ˂ g (x) равносильно данному на множестве Х.

Следствие: Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число то получится неравенство равносильное данному.

Теорема 5. Пусть неравенство f(x) ˂ g (x) задано на множестве Х. и выражение h(x) определено на том же множестве Х, принимает на этом множестве отрицательные значения, тогда неравенства