Понятие уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильных уравнениях (доказательство одной по выбору студента)

Билет № 1

Пусть f(x) и g(x) – два выражения с переменной х и областью определения Х, тогда высказывательная форма вида f(x)=g(x) называется уравнением с одной переменной, определенном на множестве Х. 3х=2(5х-8)+х 3х=10х-16+х

3х-10х-х=-16 -8х=-16 х=2

Значение переменной х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство называется корнем уравнения или его решением.

Решить уравнение – найти множество его корней.

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Т – множество корней уравнения.

f(x)=g(x)

(1).x² – 9=0 T₁={3;-3}

(2). (x-3)(x+3)=0 T₂={3;-3}

T₁=T₂

(1)=(2) (знак равносильно)

Любое тождественное преобразование левой или правой, или обеих частей уравнения приводит к уравнению, равносильному данному.

Теорема 1: Пусть уравнение f(x)=g(x) задано на множестве Х, выражение с переменной h(x) определено на том же множестве Х.

Тогда уравнения (2) f(x)+h(x)=g(x)+h(x) (знак равносильно) f(x)=g(x) (1) равносильны.

Т₁ – множество корней уравнения (1)

Т₂ – множество корней уравнения (2)

Надо доказать: Т₁=Т₂

1) х₁ (принадлежит) Т₁

Возьмем произвольный элемент

х₁ (принадлежит) Т₁ (следовательно) х₁ – корень (1) уравнения (следовательно) f(x₁)=g(x₁) – и.ч.р.

Т.к. Т₁ с Х, х₁ (принадлежит) Т₁, то х₁ (принадлежит) Х (следовательно) h(x₁) – это числовое выражение, имеющее смысл (следовательно) f(x₁)+h(x₁)=g(x₁)+h(x₁) – и.ч.р. (следовательно) х₁ – корень (2) уравнения, т.е. х₁ (принадлежит) Т₂

Итак, ((х₁ (принадлежит) Т₁)=(х₁ (принадлежит) Т₂)) (следовательно) Т₁ с Т₂

2) х₂ (принадлежит) Т₂ (следовательно) х₂ – корень (2) уравнения (следовательно) f(x₂)+h(x₂)=g(x₂)+h(x₂) – и.ч.р.

h(x₂) – числовое выражение, имеющее смысл (следовательно)f(x₂)+h(x₂)-h(x₂)=g(x₂)+h(x₂)-h(x₂) – и.ч.р.

Выполним тождественное преобразование левой и правой частей равенства, получили и.ч.р. (следовательно) f(x₂)=g(x₂) – и.ч.р. (следовательно) х₂ – корень (1) уравнения, т.е. х₂ (принадлежит) Т₁

Вывод: Итак, мы взяли

(х₂ (принадлежит) Т₂(следовательно) х₂ (принадлежит) Т₁) (следовательно) Т₂ с Т₁

3) Т₁ с Т₂}

Т₂ с Т₁} (следовательно) Т₁=Т₂ (следовательно)

(f(x)=g(x)) (равносильно) f(x)+h(x)=g(x)+h(x) – ч.т.д.

Следствия:

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак этого слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2: Пусть уравнение f(x)=g(x) определено на множестве Х и h(x)- выражение с переменной х, определенное на том же множестве и не обращающиеся в ноль ни при каких значениях х из Х.

f(x)=g(x) на Х h(x) на Х

(перевернутая А)х (принадлежит) Х, h(x) (НЕравно) 0, тогда уравнение f(x)*h(x)=g(x)*h(x) равносильно данному

(2) f(x)*h(x)=g(x)*h(x) (равносильно) f(x)=f(x) (1)

Следствие: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение равное данному.

2. Обучающимся начальных классов предложены задания:

1) Найдите среди следующих записей уравнения: у - 7; 7 + 7= 14; у - 7 = 11; у — 7> 12.

2) Решите уравнения х + 7 = 15; х +7 = 11; х • 5 = 10; х: 7 = 3.

3) Решите с объяснением: (х + 50) • 4 = 232.

• Какова образовательная цель каждого из заданий?

• Приведите рассуждения ученика при выполнении каждого из заданий.

• Какие знания лежат в основе решения третьего задания?

• Выполните 3) задание, указывая теоретические положения о равносильности уравнений.

• Раскройте методику ознакомления учащихся начальной школы с понятием «уравнение».