Пусть а – фиксированное число такое, что и .
Рассмотрим неравенства
(1)
(2)
Областью допустимых значений этих неравенств является положительная полуось. Поскольку свойства логарифмической функции различны при основаниях, меньших и больших единицы, то рассмотрим случаи и .
Пример.
Найти все значения а, при каждом из которых неравенство выполняется для всех х.
Решение.
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
Система 1) не может выполняться ни при одном х, так как
Ответ: .
При решении логарифмических неравенств, содержащих несколько различных функций под знаком логарифмов, рекомендуется сначала найти область определения исходного выражения, и лишь затем совершать преобразования, в ходе которых область определения может сужаться или расширяться.
Пример.
Решить неравенство
.
Решение.
Ключевым моментом в решении данного неравенства является поиск его области определения.
Выяснить, что область определения неравенства состоит только из двух точек.
|
|
Осталось подстановкой выяснить, какие из этих точек удовлетворяют неравенству.
При неравенство принимает вид - истинно.
При неравенство принимает вид
- ложно.
Ответ: .
Пример.
Какое из двух чисел больше или ?
Решение.
Упростим запись каждого из двух чисел:
.
,
Так как , и функция монотонно возрастает на , получим, что первое число меньше 1, а второе число больше 1.
Ответ: < .
Рассмотрим неравенства вида
Пример. Решить неравенство
Решение.
Согласно схеме (I), заменим данное неравенство равносильной совокупностью:
Ответ: , .
Пример. Решить неравенство
Решение.
Функция монотонно возрастает для , как сумма двух монотонно возрастающих функций, . Поэтому .
Ответ:
При решении неравенства воспользовались следующим утверждением:
Пусть функция монотонно возрастает на промежутке Е, причем все ее значения на этом промежутке принадлежат Е, тогда неравенство примет вид:
Следствие:
Покажем, как используются логарифмические неравенства для решения более сложных задач. Например, для нахождения области определения функции или множества значений данной функции.
Для нахождения области определения логарифмической функции необходимо найти множество значений , при которых выполняется условие . Решение заданий с дополнительными требованиями «указать длину промежутка, на котором функция определена», «при каком целом значении х функция определена» сводится к двум этапам:
I этап – находят все значения х, при которых ;
II этап – делают выборку значений х из полученного промежутка согласно дополнительному требованию.
|
|
Пример.
Укажите длину промежутка области определения функции
.
Решение.
1) Найдем значения х, при которых ,
2) Найдем область определения функции
,
.
Далее по схеме 1, так как основание логарифма , то
3) Объединяя полученные промежутки, получаем .
Таким образом, длина промежутка области определения данной функции равна 1.
Ответ: 1.
При нахождении области значений функции необходимо прежде всего найти множество значений функции , а затем на основании свойства логарифмической функции указать область значений . Если в задании есть дополнительные требования, то решение будет состоять из трех этапов:
I этап – находим область значений ;
II этап – находим область значений ;
III этап – выполняем дополнительные требования.
Пример.
Укажите наименьшее значение функции
Решение.
1) Определим множество значений функции: . Выделив полный квадрат, получим
.
Так как для всех действительных х, то .
2) Таким образом, поскольку , а - возрастающая функция, то
,
.
3) Область значений функции представляет собой луч .
4) Наименьшее значение на этом луче равно 3.
Ответ: 3.
Покажем на примерах применение свойств логарифмической функции к решению неравенств.
Пример.
Решить .
Решение.
Для наглядности решения построим график функции .
t | ||||||
y | -2 | -1 |
Из рисунка видно, что функция принимает положительные значения при .
Далее, учитывая область определения функции , получим:
Ответ: .
Изменяя знак неравенства, проследим за изменением получаемого результата.
Пример.
неравенство не имеет решений.
Логарифмические неравенства в общем виде решаются по схеме
При замене на нестрогое логарифмическое неравенство нужно в совокупности систем первые неравенства менять на нестрогие, а остальные оставлять строгими.
Если попытки применить стандартные приемы не приводят к цели, то можно воспользоваться следующим утверждением:
Чтобы доказать, что на подмножестве своей области определения неравенство не имеет решений, достаточно, например, найти такую константу А, что для всех справедлива система неравенств
(*)
Наоборот, если на множестве Е выполняется система неравенств (*), то все точки этого множества удовлетворяют неравенству .
Задания:
1. Решите показательные неравенства:
Вариант 1 Вариант 2
а) а)
б) б)
2. Решите логарифмические неравенства
Вариант 1 Вариант 2
а) а)
б) б)
в) в)
Контрольные вопросы:
1. Какие способы решения логарифмических уравнений вы знаете?
2. Какие способы решения показательных уравнений вы знаете?