Методические указания
Определение 1. Функцию y = f(x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: y = f(n) или y1, y2, y3,..., yn,... или (yn).
В данном случае независимая переменная – натуральное число.
Способы задания числовой последовательности
Словесный способ.
Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.
Пример 1. Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,.....
Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39,....
Пример 3. Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,...
Аналитический способ.
Любой n-й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.
Пример 1. Последовательность чётных чисел: y = 2n.
Пример 2. Последовательность квадрата натуральных чисел: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25,..., n2,....
Пример 3. Стационарная последовательность: y = C; C, C, C,...,C,...
Частный случай: y = 5; 5, 5, 5,..., 5,....
Пример 4. Последовательность y = 2n;
2, 22, 23, 24,..., 2n,....
|
|
Рекуррентный способ.
Указывается правило, позволяющее вычислить n-й элемент последовательности, если известны её предыдущие элементы.
Пример 1. Арифметическая прогрессия: a1=a, an+1=an+d, где a и d – заданные числа, d - разность арифметической прогрессии. Пусть a1=5, d=0,7, тогда арифметическая прогрессия будет иметь вид: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5;....
Пример 2. Геометрическая прогрессия: b1= b, bn+1= bnq, где b и q – заданные числа, b 0, q 0; q – знаменатель геометрической прогрессии. Пусть b1=23, q=½, тогда геометрическая прогрессия будет иметь вид: 23; 11,5; 5,75; 2,875;....
Пример 3. Последовательность Фибоначчи. Эта последовательность легко задаётся рекуррентно: y1=1, y2=1,yn-2+yn-1, если n=3, 4, 5, 6,.... Она будет иметь вид: 1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,....
Аналитически последовательность Фибоначчи задать трудно, но возможно. Формула, по которой определяется любой элемент этой последовательности, выглядит так:
Пример 1. Составить возможную формулу n-го элемента последовательности (yn):
а) 1, 3, 5, 7, 9, 11,...;
б) 4, 8, 12, 16, 20,...;
Решение.
а) Это последовательность нечётных чисел. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 2n+1.
б) Это числовая последовательность, у которой последующий элемент больше предыдущего на 4. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 4n.
Пример 2. Выписать первые десять элементов последовательности, заданной рекуррентно: y1=1, y2=2, yn = yn-2+yn-1, если n = 3, 4, 5, 6,....
Решение.
Каждый последующий элемент этой последовательности равен сумме двух предыдущих элементов.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
Пример 3. Последовательность (yn) задана рекуррентно: y1=1, y2=2,yn=5yn-1- 6yn-2. Задать эту последовательность аналитически.
|
|
Решение.
Найдём несколько первых элементов последовательности.
y1=1;
y2=2;
y3=5y2-6y1=10-6=4;
y4=5y3-6y2=20-12=8;
y5=5y4-6y3=40-24=16;
y6=5y5-6y4=80-48=32;
y7=5y6-6y5=160-96=64.
Получаем последовательность: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64;..., которую можно представить в виде
20; 21; 22; 23; 24; 25; 26....
n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7....
Анализируя последовательность, получаем следующую закономерность: y = 2n-1.