Методические указания.
Пусть а – фиксированное число, такое, что а > 0 и . Рассмотрим неравенства
(1)
(2)
Область допустимых значений этих неравенств совпадает со всей числовой прямой, функция положительна и строго монотонна, следовательно, при неравенство (1) выполняется при любом х из области допустимых значений, а неравенство (2) не имеет решений. При приходится рассмотреть два случая: а > 1 и 1 > a > 0.
Пусть а > 1, тогда на всей числовой прямой функция является возрастающей (рис.1). Значение, равное b, она принимает в единственной точке , и поэтому решением неравенства (1) является все , а решением неравенства (2) – все .
Пусть , тогда на всей числовой прямой функция является убывающей (рис.2), и поэтому решением неравенства (1) являются все , а решением неравенства (2) – все , где .
Пример 1. Для каждого значения а решить неравенство
.
Решение.
Запишем неравенство в виде:
Ответ: при ; при ,
Таким образом, различные типы показательных неравенств сводятся к решению простейших показательных неравенств.
|
|
Рассмотрим неравенство вида:
.
Решение.
Обозначив , получим . Пусть решение последнего неравенства имеет вид:
где и .
Тогда простейшее неравенство не имеет решений, а неравенство решается по схеме 1. Сразу выпишем в этом случае ответ.
Ответ: при , ;
при ,
Заметим, что в предложенных выше схемах при решении неравенств многократно использовалось свойство положительности функции .
Пример.
Решить неравенство .
Решение.
Преобразуем неравенство . В обозначениях , неравенство примет вид:
.
Найдем корни соответствующего уравнения
,
, .
Причем
Значит неравенство равносильно совокупности
Ответ: .
Рассмотрим следующий тип неравенств: .
Решение.
Аналогично решается и неравенство вида .
Пример.
Решить неравенство
Решение.
По данной схеме неравенство равносильно совокупности двух систем:
Ответ:
Кроме предложенных выше видов неравенств, предлагается решить графически неравенства, которые нельзя решить аналитически.
Пример.
а)
б)
Решение.
а)
1. Построим графики функций и .
2. Найдем точки пересечения графиков функций .
3. Решением данного неравенства будут те значения х, для каждого из которых график функции лежит ниже графика .
Ответ:
б)
1. Построим график функций .
2. Найдем точки пересечения графиков функций.
3. Решением данного неравенства будут те значения х, для каждого из которых график функции лежит ниже графика .
Ответ: .