Решение. Примеры решения задач

Примеры решения задач

3.1. Найти момент инерции тонкого кольца относительно оси,лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр. Масса кольца m = 0,2 кг, диаметр кольца D = 0,6 м.

Решение.

Предложим два способа решения задачи. Первый основан на прямом использовании определения момента инерции, второй – на применении теоремы о моменте инерции плоских тел (см. задачу 3.7) и результате вычисления момента инерции кольца относительно оси, перпендикулярной его плоскости (см. задачу 3.6).

а) Разобьём кольцо на малые элементы массы D m_i – участки дуги окружности. Положение элемента удобно характеризовать углом, который образует радиус-вектор, соединяющий центр кольца и данный элемент массы с осью. По определению момент инерциикольца относительно оси OX равен:

I_x = ,

где r_i – расстояние от оси до i -го элемента массы тела. При увеличении числа элементов разбиения N уменьшаются величины D m_i и можно перейти к пределу , где интегрирование ведется по всему объёму тела. Расстояние от оси до элемента массы равно (см. рис.):

r = R ×sin a.

Величина dm легко выражается через плотность материала кольца и геометри-ческие параметры элемента массы (см. рис.):

dm = rdl = rRda.

Здесь r – линейная плотность кольца (масса, приходящаяся на единицу его длины).

Как мы видим, интеграл по объёму тела сводится к обычному определённому – по всем значениям угла a, характеризующим все элементы тела, т.е. от 0 до 2 p. Итак,

.

Далее учтём, что масса всего кольца m = r × l = r ×2 pR,и запишем окончательно:

.

б) Тот же результат можно получить и не проводя интегрирования. Нужно учесть, что момент инерции кольца, относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца (ось OZ), равен

I_z = mR ².

Моменты инерции, относительно любой оси проходящей через его центр и лежащей в плоскости кольца, очевидно, одинаковы (например, взаимно перпендикулярные оси OX и OY). Тогда, используя теорему о моменте инерции плоских тел, получаем:

I_z = I_x + I_y = 2 I_x = 2 I_y Þ 0,009 кг × м ².

Задача

3.2. «Машина Атвуда» (прибор для изучения законов равнопеременного движения) представляет собой систему с двумя грузами одинаковой массы M, связанными нитью перекинутой через массивный блок радиуса R (см. рис.). Если на один из грузов положить небольшой грузик m, то система придёт в ускоренное движение. Пусть экспериментально измеренное ускорение первого груза оказалось равным a. Определить по этим данным момент инерции блока I. Считать, что невесомая и нерастяжимая нить не скользит по блоку, а сам блок вращается без трения.