Примеры к лабораторной работе 7

1 работа

185 151 187 211 155 208 178 193 204 189 216 199 134

193 163 166 131 200 173 145 166 219 216 133 151 169

156 174 174 161 225 178 188 157 183 197 148 197 120

206 187 309 189 157 180 163 196 164 175 134 204 177

242 192 160 123 181 172 183 120 149

2 работа

181 121 173 144 219 151 180 197 160 241 183 129 175

198 218 149 186 203 164 198 138 185 201 153 219 151

187 167 145 132 217 160 130 205 154 163 178 196 172

211 197 177 186 200 138 156 168 181 208 156 169 173

184 178 158 194 188 203 189 206

3 работа

171 168 182 201 146 176 152 180 201 223 183 154 225

176 195 137 208 183 147 166 157 189 177 169 197 173

240 195 184 124 119 186 152 205 180 155 199 228 132

200 225 163 149 171 160 205 163 194 179 155 188 168

174 208 161 132 226 206 147 189

4 работа

212 257 296 245 263 284 247 251 275 311 278 300 231

265 239 269 240 222 282 320 285 272 218 298 260 318

265 287 293 254 288 309 229 302 238 247 274 314 279

263 295 267 253 234 260 299 235 305 288 294 278 268

281 264 274 253 242 269 249 225

5 работа

211 254 296 236 280 303 264 248 231 275 313 276 260

241 201 287 252 295 257 268 323 282 202 225 271 269

212 298 279 263 287 267 237 256 276 259 237 320 304

249 292 274 234 319 261 284 245 253 309 297 278 301

213 265 272 289 257 235 268 244

6 работа

213 269 236 275 259 286 263 231 272 254 299 320

249 229 252 293 275 238 280 260 288 271 235 220

317 300 318 302 265 274 297 258 244 199 267 216

254 238 278 259 283 289 234 313 307 267 248 300

253 294 276 309 281 262 272 236 257 240 268 283

7 работа

141 174 155 181 202 185 218 206 151 196 225 197

235 163 203 188 173 211 175 214 144 217 186 205

192 154 189 161 183 206 169 146 188 175 212 196

215 248 227 153 194 143 179 201 185 204 171 207

157 208 241 167 220 193 153 177 199 184 260 187

8 работа

152 194 186 206 179 202 149 140 186 158 215 188

217 174 191 209 146 198 240 163 220 187 155 187

160 177 259 205 213 233 195 209 200 217 172 192

187 246 181 162 203 165 153 215 156 197 148 176

206 188 227 181 208 218 189 155 196 216 189 176

9 работа

151 176 160 180 199 201 186 199 140 206 213 209

182 149 195 220 173 158 178 240 166 184 220 188

205 212 147 198 217 227 189 169 153 175 208 179

201 183 194 196 154 215 166 238 218 261 175 206

179 200 183 193 186 154 189 164 226 195 246 149

10 работа

139 197 158 202 145 200 169 151 177 229 180 238

185 226 192 213 145 164 216 207 245 172 153 177

199 180 228 185 209 194 215 189 264 205 207 153

175 160 179 167 184 148 194 227 198 216 205 226

173 200 178 164 182 249 188 157 199 189 208 187

11 работа

249 216 238 357 241 280 248 269 192 272 255 292

226 262 297 246 251 233 216 276 259 241 285 267

211 288 267 238 181 279 246 207 268 254 276 197

260 295 265 233 214 236 225 277 245 281 252 275

255 240 294 260 301 210 235 220 258 229 244 283

12 работа

231 213 239 293 243 264 248 211 269 257 281 262

284 209 253 237 218 241 297 246 302 232 276 288

259 283 266 249 213 255 219 295 263 205 285 275

237 278 240 225 246 269 254 214 258 200 264 286

235 278 239 280 245 299 217 255 220 260 179 267

13 работа

252 232 260 239 263 247 288 228 215 273 195 282

300 219 266 289 269 256 234 261 239 286 247 267

231 291 180 218 204 245 227 249 253 276 198 284

242 264 287 216 256 235 261 289 221 249 232 295

274 298 264 237 299 254 218 258 237 225 245 267

14 работа

111 131 142 151 191 221 121 133 142 152 161 192

199 194 153 143 128 100 148 163 203 218 129 184

164 195 207 165 137 149 154 197 165 149 137 166

209 167 140 159 158 168 169 157 159 163 171 172

174 178 179 181 179 180 187 188 184 185 186 189

15 работа

110 148 118 134 179 163 194 197 181 165 149 135

122 126 137 149 165 205 181 183 165 150 138 129

140 131 151 167 185 141 153 169 187 142 153 170

191 144 152 170 189 144 154 171 187 145 155 172

146 157 173 159 174 149 150 176 161 176 160 175

16 работа

123 133 148 163 176 180 199 205 110 118 130 137

134 149 164 179 200 119 136 150 165 181 169 153

140 125 139 151 171 183 185 172 152 141 154 168

186 190 170 156 145 144 158 167 191 176 160 159

143 146 161 171 175 172 159 154 169 149 171 155

17 работа

118 133 148 163 178 198 120 135 149 164 165 179 203

121 110 138 150 140 151 167 180 169 168 150 141 125

131 145 152 181 171 156 153 143 146 155 170 182 173

184 156 174 185 188 175 159 139 159 176 190 163 160

164 161 160 165 153 142 207 137

18 работа

136 146 156 166 168 157 147 137 121 118 110 119 134

138 148 131 128 139 149 158 124 123 140 151 158 153

137 128 171 159 152 141 127 132 136 152 137 153 160

173 128 143 154 161 147 142 129 140 149 163 180 143

144 147 150 133 139 164 131 132

19 работа

156 167 157 146 136 139 148 158 170 158 147 137 126

116 140 138 173 159 149 128 118 129 121 130 137 160

169 163 153 137 123 133 120 136 151 161 152 127 141

131 143 153 142 164 140 162 154 143 132 144 152 128

147 127 149 134 139 147 110 150

20 работа

117 126 136 148 158 156 147 139 129 119 110 121 127

140 146 159 157 151 137 132 130 123 133 171 138 151

141 150 160 149 153 144 126 131 124 142 154 161 143

127 143 150 161 162 151 140 139 178 153 137 138 147

163 148 136 148 164 168 170 173

21 работа

80 93 111 128 131 153 132 151 173 191 171 197 176

152 175 154 114 133 129 132 97 157 135 155 135 115

99 117 103 121 117 136 160 138 134 161 179 201 178

187 162 140 159 123 107 125 185 141 165 143 163 145

167 149 169 147 168 145 164 100

22 работа

113 131 151 173 153 133 116 94 114 132 152 175 154

135 117 95 80 119 136 155 178 179 156 134 121 99

123 139 157 180 159 138 127 105 125 137 158 181

129 140 160 185 163 161 145 141 186 169 149 146

189 197 162 147 207 143 167 163 199 144

23 работа

111 131 151 172 153 133 114 97 80 112 132 152 173

96 115 197 134 154 175 205 103 117 133 155 175

109 121 135 156 181 160 138 127 128 138 157 182

187 158 136 129 141 163 185 161 142 139 145 165

189 208 167 148 168 155 149 147 169 148 120

24 работа

121 141 163 183 187 165 142 123 207 189 181 164

123 143 124 144 126 145 162 128 146 163 195 211

193 125 147 167 199 225 165 145 129 197 166 170

131 133 185 182 149 170 150 177 191 137 91 107

103 150 115 151 118 169 171 153 157 173 155 178

25 работа

121 141 162 181 207 183 163 142 124 115 90 118

122 143 163 187 168 145 129 109 113 127 144 165

184 213 190 166 145 128 130 146 169 189 171 148

133 147 170 219 191 177 152 131 135 150 173 195

175 151 137 153 179 198 173 153 175 167 157 158

Проверка гипотезы об исключении резко выделяющихся наблюдений

При проведении экспериментов. Некоторые измеренные значения могут существенно отличаться от остальных. Если причина подобного отличия известна, то показания, содержащие грубую ошибку, исключаются из дальнейшей обработки результатов измерений. Решение отбросить какие-либо данные в конечном счете всегда субъективно. Наиболее строгий подход к проблеме анализа подобных аномальных данных – повторить измерения много раз. Если подобная аномалия повторится снова, вероятно возможно будет выяснить её причину. Если же аномальное показание не повторится, то, даже оставляя его, оно мало скажется на дальнейших вычислениях из-за большого числа измерений. Однако при небольшом объеме опытных данных и отсутствии явных причин появления грубых ошибок целесообразно использовать статистические методы выявления грубой ошибки. Статистические методы, как правило, основаны на проверке нулевой гипотезы о том, что аномальное показание относится к тому же множеству, что и остальные опытные данные. Естественно, для проверки этой гипотезы необходимо выбрать соответствующий критерий, согласно которому отвергается подозрительный (аномальный) результат с заданным уровнем значимости.

Итак, пусть в результате проведения эксперимента получена некоторая выборка X(x₁,x₂,..,x_m,..,x_n) объема n. Одно из выборочных значений x_m существенно отличается от остальных. Необходимо решить, является оно грубой ошибкой или обусловлено случайной природой всех выборочных значений. Принципиально имеется несколько критериев проверки принадлежности аномального выборочного значения нулевой гипотезе. Однако наиболее простым и достаточно мощным является двусторонний несмещенный критерий, основанный на формировании статистики нормированного максимального абсолютного отклонения аномального показания от выборочного среднего, т.е. в качестве статистики критерия рассматривается величина

где выборочные среднее значение и дисперсия определяются выражениями

*

выборочное среднее и дисперсия

Для статистики (*) получены законы распределения вероятностей и составлены таблицы процентных точек распределения наибольшего по абсолютной величине нормированного выборочного отклонения в зависимости от объема выборки n и уровня значимости α [Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики – М.: Наука,1983.], позволяющие найти по заданным αи n критическое значение статистики такое, что Поэтому, если значение выборочной статистики, полученной на основе опытных данных, не превышает критического значения , т.е. то гипотеза о том, что аномальное значение не является грубой ошибкой, принимается с уровнем значимости α.

Следовательно, это аномальное значение (аномальное выборочное значение) должно быть оставлено для дальнейшего использования.

Пример. В результате опыта проведено шесть измерений и получены следующие данные: 42, 38, 20, 35, 30, 34. Здесь значение x₃=20 существенно отличается от остальных. Проверим в соответствии с критерием (**) гипотезу о том, что значение x₃=20 не является грубой ошибкой для уровня значимости критерия α=0,05. Из таблицы для n =6 и α =0.05 находим критическое значение статистики Опытным данным соответствуют и Так как значение статистики, вычисленное на основе опытных данных, меньше критического значения, можно утверждать, что x₃=20 не является грубой ошибкой.

Таблица

α\n
0.01	1.41	1.73	1.97	2.16	2.31
0.05	1.41	1.71	1.92	2.07	2.18
0.10	1.41	1.69	1.87	2.00	2.09

Продолжение таблицы

α\n
0.01	2.43	2.53	2.62	2.75	2.86	2.95	3.02
0.05	2.27	2.35	2.41	2.52	2.60	2.67	2.73
0.10	2.17	2.39	2.29	2.39	2.46	2.52	2.58

Процентные (критические) точки распределения наибольшего отклонения такие, что

α\n
0.01	1.41	1.73	1.97	2.16	2.31	2.43	2.53	2.62	2.75	2.86	2.95	3.02
0.05	1.41	1.71	1.92	2.07	2.18	2.27	2.35	2.41	2.52	2.60	2.67	2.73
0.10	1.41	1.69	1.87	2.00	2.09	2.17	2.39	2.29	2.39	2.46	2.52	2.58

Оценить с надежностью g=0,95 математическое ожидание (т.е. найти для него доверительный интеовал).

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s неизвестно. По данным выборки можно построить случайную величину (ее возможные значения будем обозначать через t):

которая имеет распределение Стьюдента с k=n-1 степенями свободы; здесь - выборочная средняя, S - "исправленное" среднее квадратическое отклонение, n - объём выборки.

Плотность распределения Стьюдента

где

Видим, что распределение Стьюдента определяется параметром n -объемом выборки (или, что то же, числом степеней свободы) и не зависит от неизвестных параметров M(X) и D(X); эта особенность является его большим достоинством. Поскольку S(t,n) - четная функция от t, вероятность осуществления неравенства определяется так