Условный нуль

II. Оценки параметров распределения

Для нахождения оценок параметров распределения случайной величины Y сначала определяются условные моменты. Начальные условные моменты определяются по формуле

,

где m_r – начальный условный момент r-го порядка; r = 1; 2; 3; 4.

Оценка математического ожидания величины X – среднее арифметическое выбрки – выражается через начальный условный момент первого порядка

(5)

Центральные условные моменты определяются по формулам:

(6)

(7)

(8)

С их помощью находим:

- оценку среднего квадратичного отклонения

; (9)

- коэффициент вариации

(10)

- оценку коэффициента асимметрии

(11)

- оценку коэффициента эксцесса

(12)

Задание.

По величинам коэффициентов асимметрии и эксцесса высказать

мнение о соответствии распределения случайной величины Y

нормальному.

Пример (продолжение). Найдем оценки параметров распределения прочности пряжи Т=18,5 текс (№54).

Используя данные табл.3 по формулам (4) находим начальные условные моменты

Тогда центральные условные моменты по формулам (6) – (8) будут равны:

= 1,70 – 0,15² =1,6775

= 0,45 – 0,15 (2 – 1,6775 + 1,70) = -0,308

= 7,475 – 2 × 0,15 (-0,308 + 0,45) +0,15⁴ = 7,433

и теперь находим оценки параметров распределения прочности пряжи

= 191,5 + 0,15 × 30 = 195,0 мН;

;

по асимметрии и эксцессу распределения прочности пряжи степень умеренности отличается от нормального.

III. Определение теоретических частот нормального распределения и

проверка гипотезы о нормальности распределения.

Для определения теоретических частот нормального распределения используются таблицы функции

(13)

(Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статическая статистика, М., 1972, с355). Составим таблицу теоретических значений (табл.4).

Таблица 4

Сумма		-			χ

Первые два столбца табл. 4 соответствуют третьему и четвертому столбцам табл. 2. Для каждого c_i определяется нормированное отклонение t_i:

(14)

которое вносится в стб.3 табл. 4.Затем находят по указанным таблицам значения функции (13) и записывают их в стб.4. Для определения теоретических частот их нужно уравнять с факти­ческим, поэтому находят уравнивающий коэффициент l:

(15)

и тогда теоретические частоты

(16)

Для контроля вычислений следует проверить выполнение равенства

.

По данным стб.1 и 2 строят на графике полигон частот. На том же графике строится теоретическая кривая Гаусса. Для этого наносят точки с координатами из 1-го и 5-го стб. и дополнительную точку максимума, абсцисса которой равна , а ордината определяется по формуле

(17)

так как для получаем t = 0 и

Построенные точки соединяют плавной кривой.

Задание. По полученному графику объяснить знак и величину коэффициентов

асимметрии и эксцесса.

В последний столбец вносят значения относительных квадратов отклонений фактических частот от теоретических и находят их сумму

(18)

которая сравнивается с табличным значением , определяемым по уровню значимости a и числу степеней свободы по таблицам (Гмурман В. Е., с358).

k – фактическое число классовых промежутков;

a = 0,06

Задание. По критерию (критерию Пирсона) сделать вывод о соответствии

распреде­ления величины Y нормальному закону.

Пример (продолжение). Составим табл.5 по форме табл.4.

Таблица 5

100,5 130,5 160,5 190,5 220,5 250,5 280,5		-2,432 -1,660 -0,888 -0,116 0,656 1,428 2,200	0,02074 0,10062 0,26900 0,39628 0,32167 0,14387 0,03546	0,644 3,126 8,356 12,310 9,993 4,469 1,102	0,197 0,050 0,015 0,008 0,000 0,063 0,009
Сумма			1,28764	40,000	0,342

Для числа степеней свободы ¦ = 7 – 3 = 4 и a = 0,05 по табл.5 находим

так как c = 0,342 < то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальности распределения прочности пряжи Т = 18,5 текс.

Задание.

Оценить с надежностью g=0,95 математическое ожидание (т.е. найти для него доверительный интервал). Проверить гипотезу во всех вариантах

Пример. Количественный признак генеральной совокуп­ности распределен нормально. По выборке объемом 7 найдены выбороч­ная средняя прочность = 195,0 мН и "исправленное" среднее квадра­тическое отклонение S=38,86 мН. Оценим неизвестное математическое ожидание при помощи доверии­тель­ного интервала с надежностью 0,95. Найдем кван­тиль , пользуясь таблицей значений . Для значений g=0,95 и ¦ = 4 оказывается . Тогда доверительные границы будут равны (137,9, 242,1). Итак, с надежностью 0,95 прочность нити заключена в доверительном интервале .

По уровню значимости a=0,05 и числу степеней свободы k=f-1=6 по таблице критических точек распределения Стьюдента найдем двусторонию критическую точку равную t(0,05;6)=2,45. Наблюдаемое значение критерия Так как то нет оснований, чтобы отбросить нулевую гипотезу. Выборочная средняя прочность незначимо отличается от значения 200 (гипотетической генеральной средней).