Зададим границу твердого тела в виде , - см. рис.1.
Рис.1 Граница твердого тела
Область заполнена жидкостью, в которой растворено вещество с плотностью . Будем считать, что на поверхности твердого тела плотность растворенного вещества равна нулю, а на расстоянии от поверхности плотность вещества равна :
. (1)
Уравнение диффузии в жидкости запишем в виде
. (2)
Для расчета концентрации растворенного вещества в жидкости будем решать уравнение (2) с граничными условиями (1). При этом воспользуемся малостью возмущения формы границы .
В нулевом приближении граница плоская (), концентрация зависит только от вертикальной координаты , уравнение (2) и граничные условия (1) приобретают вид
, (3)
. (4)
Интегрируя (3) с граничными условиями (4), получаем
(5)
Решение уравнения (2) с граничными условиями (1) будем искать в виде
, (6)
где . Подставляя (6) в (1), (2), получаем
. (7)
. (8)
Применим к (7), (8), преобразование Фурье по координате :
.
Тогда получаем
. (9)
, (10)
где под подразумевается следующее. Нужно взять выражение (5) для , подставить в него , а от полученного выражения взять образ по Фурье.
|
|
Решение уравнения (9) с граничными условиями (10) имеет вид
(11)