Преобразование представления числа из десятичной системы счисления в другую

Для преобразования представления любого числа из одной ПСС в другую достаточно уметь преобразовывать отдельно его целую и отдельно дробную части, а затем соединить преобразованные части. Рассмотрим отдельно эти два случая.

ПРОБРАЗОВАНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

Известна запись целого числа N в 10-ой ПСС. Согласно (4) запись этого числа в Q - ичной ПСС будет иметь вид:

(10)

где . Для определения q₀ разделим обе части равенства (10) нацело на Q, причём в левой части произведём деление, пользуясь правилами 10-ной арифметики, и получим:

, (11)

. (12)

В (11) скобками указано взятие целой части числа, так как мы выполняем операция целочисленного деления. В (12) - записана операция получения остатка от деления N нацело на Q. В формуле (11) q₀ исчезло, так как все q_i < Q. Теперь, для определения q₁, к N₁ можно применить те же операции:

.

Таким образом, пологая , перевод чисел с использованием 10-ной арифметики осуществляется по следующим рекуррентным формулам:

. (13)

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено . Учитывая, что поскольку все операции выполняются в 10-ной ПСС, то в этой же ПСС будут получены искомые коэффициенты , поэтому каждый из них необходимо записать одной цифрой в новой Q -ичной.

Замечание. Рекуррентная формула – это соотношение вида:

a_n₊₁= f(n, a_n), n=0, 1, 2, …,

которое позволяет вычислить все члены последовательности a₁, a₂, … _,, если задано a₀ и вид функционального отображения f(∙).

Таким образом, для вычисления представления числа в новой ПСС необходимо:

1. Выполнить деление нацело текущего частного N_i на основание новой ПСС ( все числа представляются в 10-ой ПСС и операция выполняется по правилам 10-ой ПСС).

2. Вычислить текущий остаток от деления нацело ( q_i = N_i modQ ) по правилам 10-ой ПСС.

3. Если новое частное N_i₊₁ не равно 0, то перейти к пункту 1.

4. Каждый остаток, записанный в 10-ой ПСС, записываем одной цифрой в новой ПСС.

5. Остатки записываем в обратном порядке, они дадут изображение числа в новой ПСС (последний остаток будет самой левой цифрой, а первый остаток – самой правой цифрой).

Пример 1. Перевести число N = 47 в двоичную ПСС. Применяя формулы (13), имеем:

47 | 1

23 | 1

11 | 1

5 | 1

2 | 0

1 | 1

0 |

Здесь слева от вертикальной черты пишем исходное число и частные, а справа указывается остаток от деления нацело на 2. Поскольку числа 0 и 1 в обеих ПСС (десятичной и двоичной) обозначаются одинаковыми цифрами, то переводить остатки в двоичную ПСС не требуется. Следовательно, записывая остатки в обратном порядке, имеем результат .