Преобразование дробных чисел

Пусть необходимо перевести в Q -ую ПСС конечную десятичную дробь х (0< x <1). Так как х < 1, то число x в Q -ой ПСС можно представить в виде:

, (14)

где (i=1,2,…) – искомые коэффициенты Q -ого разложения числа х. Умножим обе части (14) на Q, причём в левой части равенства умножение выполним в 10-ой ПСС. Тогда:

. (15)

Учитывая, что и выделяя целую и дробную часть выражения (15), получим:

Здесь также скобками показано взятие целой частит числа, а символом D(∙) – мы обозначили операцию взятия дробной части числа. Ясно, что также будет правильной дробью, к которой можно применить аналогичную операцию. Таким образом, процесс вычисления величин можно записать в виде рекуррентных формул (полагая ):

(16)

Теперь можно сформулировать правило. Для вычисления представления конечной десятичной дроби в новой ПСС необходимо:

1. Выполнить умножение текущего результата х_i (16) на основание новой ПСС ( все числа представляются в 10-ой ПСС и операция выполняется по правилам 10-ой ПСС).

2. Вычислить целую q_{-(i +1)} и дробную части х_{i +1} текущего результата по формулам (16).

3. Если новая дробная часть х_{i +1} равна 0 или получено достаточное количество цифр изображения числа, то перейти к пункту 4, иначе – к пункту 1.

4. Каждое целое q_{-(i +1)} записываем одной цифрой в новой ПСС.

5. Полученные целые записываем в прямом порядке после точки (отделяющей дробную часть от целой), они дадут изображение дробного числа х в новой ПСС.

К сожалению, большинство конечных дробей в десятичной ПСС в двоичной ПСС будут бесконечными. Поэтому, необходим критерий для остановки процесса вычислений, задаваемого формулами (16). Таким критерием является достижение требуемой точности изображения числа. Её будем определять исходя из эмпирических соображений, приведённые в нижележащей таблице.