Примеры. Алфавиты основных систем счисления

Алфавиты основных систем счисления

- двоичной: — 0, 1;

- восьмеричной: — 0, 1,..., 6, 7;

- десятичной: — 0, 1,..., 8, 9;

- шестнадцатеричной: — 0, 1,..., 9, A, B, C, D, E, F.

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления (иначе можно сказать основание равно количеству цифр алфавита)

Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется P -ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.

Запись произвольного числа x в P -ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена

x = a_nPⁿ + a_n -1 Pⁿ -1 +... + a ₁ P 1 + a 0 P 0 + a -1 P -1 +... + a_-mP^-m

Примеры

1101,0101₍₂₎=1*2³ + 1*2² + 1*2⁰ + 1*2^-2 + 1*2^-4

41,73₍₈₎ =4*8¹+1*8⁰+7*8^-1+3*8^-2

523,69₍₁₀₎ = 5*10²+2*10¹+3*10⁰+6*10^-1+9*10^-2

29A,5₍₁₆₎ = 2*16²+9*16¹+10*16⁰+5*16^-1

ПЕРЕВОДЫ ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

I. Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 отдельно переводятся целая и дробная части числа.

Перевод целой части числа:

1) Целая часть числа делится на P, после чего запоминается остаток от деления.

2) Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается.

3)Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю.

4) Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;

Перевод дробной части числа:

1)Дробная часть числа умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается.

2)Вновь полученная дробная часть умножается на P и целая часть запоминается

3)Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю.

4)Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения.

Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.

Примеры

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную:
а) 464₍₁₀₎; б) 380,1875₍₁₀₎; в) 115,94₍₁₀₎ (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).

Решение.

а)целое б) целая дробная в) целая дробная число часть часть часть часть: на 2:на 2 * на 2: на 2 * на 2 464 | 0 380 | 0 |1875 115 | 1 |94 232 | 0 190| 0 0|375 57 | 1 1|88 116 | 0 95 | 1 0|75 28 | 0 1|76 58 | 0 47 | 1 1|5 14 | 0 1|52 29 | 1 23 | 1 1|0 7 | 1 1|04 14 | 0 11 | 1 3 | 1 0|08 7 | 1 5 | 1 1 | 1 0|16 3 | 1 2 | 0 1 | 1 1 | 1

Для целой части - остатки от деления записываются в обратном порядке.

Для дробной части записываются отброшенные целые числа в порядке их пролучения.

а) 464₍₁₀₎ = 111010000₍₂₎; б) 380,1875₍₁₀₎ = 101111100,0011₍₂₎; в) 115,94₍₁₀₎» 1110011,11110₍₂₎ (в настоящем случае было получено шесть знаков после запятой, после чего результат был округлен).

II. Перевод числа из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления

При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер -1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.