2015-06-28
856
Пусть плоскость 
и прямая 
заданы уравнениями:
Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и её проекцией на плоскость.
Обозначим через 
угол между прямой 
и плоскостью 
а 
- угол между векторами 
Тогда 
Найдём 
= 
. Отсюда с учётом, что 
получаем:
) Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости:
Пример1. Найти взаимное расположение прямой 
и плоскости 
если: а) 
б) 
в) 
г) 
Решение:
а)Проверим, являются ли прямая 
и плоскость 
параллельными, вычислим для этого скалярное произведение направляющего вектора 
={2; 7; 1} и нормали 
={2; - 1; 3}: 
Видим, что 
следовательно, 
. Проверим, лежит ли прямая l в плоскости α, подставив
координаты точки M 0(1; –3; 7) в уравнение плоскости: 
Мы получили неверное равенство, следовательно, 
и 
. Таким образом, 
б)В этом случае 
={-1; 2; -1}, 
={3; 1; -1}, M 0(0; –1; 2). Проверим, перпендикулярны ли векторы 
.Таккак 
следовательно, 
или 
Подставим координаты точки 
в уравнение плоскости 
Полученное верное равенство говорит о том, что 
, следовательно, 
в) В этом случае 
={3; 1; - 4}, 
={6; 2; -8},
M 0(2;–3;1).Проверим,чемуравно скалярное произведение векторов 
, то
есть векторы 
не перпендикулярны. Следовательно, прямая l не может
ни лежать в плоскости α, ни быть ей параллельной. Проверяя, коллинеарны ли векторы 
видим, что 
(их координаты пропорциональны), то есть 
. Значит, 
Можно найти точку пересечения прямой 
и плоскости 
решив совместно их уравнения: 
Для упрощения решения введем параметр в уравнении прямой (перейдем к параметрическому уравнению):
Получили, что точка N (–4; –5; 9) является общей для прямой l и плоскости α, следовательно, 
г) В этом случае 
={-1; 2; 1}, 
={7; 3; 5}, M 0(–1; 7; –1). Так как 
, то прямая l не может ни лежать в плоскости α, ни быть ей параллельной. Координаты 
не пропорциональны: 
то есть прямая l не перпендикулярна плоскости α. Так как исчерпаны все другие возможности, то остается только один вариант – прямая l и плоскость α пересекаются. Найдем точку их пересечения, решив совместно уравнения: 
Получили, что точка 
является общей для прямой 
иплоскости 
следовательно, 
Пример2. Найти точку 
симметричную точке
M (1,0,- 2) относительно прямой 
Решение. Сначала составим уравнение плоскости 
, проходящей через точку M перпендикулярно прямой 
Вектор нормали 
к плоскости 
совпадает с направляющим вектором 
прямой 
— 
= {1,2,- 3}. Тогда уравнение плоскости имеет вид: 
или 
Найдем координаты точки 
пересечения прямой 
и плоскости 
так, как мы это делали в задаче 1. Запишем параметрические уравнения прямой 
Подставим эти выражения в уравнение плоскости и найдем соответствующее значение параметра 
Итак, точка O имеет координаты 
Поскольку точка O является серединой отрезка 
Ответ: точка 
имеет координаты 
