2015-06-28
374
Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:
- прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;
- прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек;
- прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.
Получим признаки для всех этих случаев. Пусть прямая 
и плоскость 
заданы уравнениями:
т.е. прямая 
проходит через точку 
коллинеарно вектору 
а плоскость 
перпендикулярна вектору 
Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямой 
и плоскости 
соответствуют следующие признаки:
прямая 
и плоскость 
пересекаются 
векторы 
не ортогональны,а);
- прямая 
и плоскость 
параллельны 
векторы 
ортогональны, а точка 
не принадлежит плоскости 
(рис.б);
- прямая 
лежит в плоскости 
векторы 
ортогональны, а точка 
принадлежит плоскости 
(рис.,в).
* 
Учитывая свойство скалярного произведения векторов 
, получаем:
- прямая 
и плоскость 
пересекаются 
- прямая и плоскость ' параллельны 
- прямая лежит в плоскости 
Для того чтобы найти точку пересечения прямой 
с плоскостью 
нужно решить систему уравнений прямой и плоскости, предварительно записав уравнения прямой в параметрическом виде:
Подставив эти выражения для 
в уравнение плоскости и преобразовав его, получим уравнение: 
Если прямая 
не параллельна плоскости 
, т. е. если 
, то из равенства находим 
Подставив найденное значение 
в параметрические уравнения прямой, найдём координаты точки пресечения прямой и плоскости.
Рассмотрим случай, когда 
Тогда возможны следующие два случая: 
В случае 1) прямая 
параллельна плоскости 
и не пересекает плоскость, т. е. уравнение решения не имеет (так как имеет вид Ot+k=0, к≠О). В случае 2) уравнение имеет вид 
которому
удовлетворяет любое значение 
и поэтому любая точка прямой является точкой пересечения прямой и плоскости. Следовательно, прямая L лежит на плоскости 
. Таким образом, условие принадлежности прямой плоскости имеет вид
