Уравнения движения

Уравнения движения среды можно получить, применив второй закон Ньютона к выделенному элементарному объему среды. В зависимости от условий течения на элемент движущейся среды могут действовать различные силы. В нашем рассмотрении учтем три из них: силу тяжести, равнодействующую сил давления на границах выделенного объема и равнодействующую сил внутреннего трения. Для элемента среды с плотностью ρ общий вид второго закона Ньютона:

(6)

С учетом сказанного о действующих силах на границах выделенного элементарного объема (подробное рассмотрение опускаем) получим:

(7)

Это уравнение векторное. Для решения в декартовой системе координат нужно получить его проекции на соответствующие оси координат. Выпишем проекцию уравнения (7) на ось х.

(8)

В уравнениях (7), (8) нужно учесть, что скорость является функцией как времени, так и координат, и поэтому ее зависимость от времени может быть и непосредственной (), и косвенной – через зависимость координат от времени (). Это справедливо для всех компонент скорости w_x, w_y, w_z. В последнем же выражении Поэтому уравнение (8) будет окончательно записано как

(9)

Аналогичные выражения нужно записать для проекций уравнения движения на оси y,z. Полученная система из трех уравнений носит название уравнений Навье-Стокса.