Уравнение прямой линии в пространстве

Прямая в пространстве однозначно определяется точкой и направлением, т.е. некоторым вектором .

Пусть ‑ произвольная точка прямой, тогда и коллинеарные вектора, поэтому

, . (1)

Уравнение (1) является векторным уравнением прямой линии в пространстве.

Запишем уравнение (1) в координатной форме. Так как и , то

откуда получаем

параметрические уравнения прямой

(2)

и из равенств ‑

канонические уравнения прямой

. (3)

Пример 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором .

Решение. Канонические уравнения прямой:

;

параметрические уравнения прямой:

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей:

(4)

с соответствующими нормалями и . В этом случае направляющий вектор прямой , удовлетворяет условиям и , следовательно, можно положить .

Пример 2. Найти направляющий вектор прямой и его направляющие косинусы, если прямая задана как линия пересечения двух плоскостей:

Решение. , ,

, ,