2015-06-24
2073
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.
Пусть на плоскости задача область G площади 
. В области G содержится область g площади Sg. В область G наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области G с вероятностью, пропорциональной площади этой части и не зависящей от ее формы и расположения. Пусть А – попадание брошенной точки в область g, тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой
.
Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область G объема VG, содержащую область g объема Vg:
.
В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через mes, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу в область g – часть области G, равна
|
|
|
Пример 5.1. В круг вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадает в квадрат?
Обозначим: R – радиус круга, 
– сторона вписанного квадрата, А – попадание точки в квадрат, S – площадь круга, S1 – площадь вписанного квадрата. 
, а сторона вписанного квадрата через радиус вписанной окружности выражается формулой 
поэтому площадь квадрата 
. Тогда искомая вероятность
Пример 5.2. (Задача Бюффона). Плоскость расчерчена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно . На эту плоскость бросается наудачу отрезок длины 
l(l < ) Какова вероятность того, что отрезок пересекается хотя бы с одной из прямых семейства?
Рис. 1.
| Расстояние от верхнего конца отрезка до ближайшей снизу прямой обозначим через у (Рис. 1). Угол между отрезком и лучом, параллельным прямым семейства, начало которого совпадает с верхним концом отрезка, обозначим через х. Очевидно, что 
|
Для того, чтобы отрезок пересекал хотя бы одну из прямых семейства, необходимо и достаточно, чтобы у=а или 
. Выражение «отрезок брошен наудачу» будем понимать так: точка (х, у) наудачу брошена на прямоугольник 
(Рис. 2).
Рис. 2.
| Точки, координаты которых удовлетворяют неравенству  образуют фигуру, заштрихованную на Рис. 2. Площадь этой фигуры
Площадь всего прямоугольника есть  Тогда, если А – событие – отрезок пересекается хотя бы с одной прямой
|
В случае l=a вероятность такова
Вопросы для самопроверки
1. Как определяется геометрическая вероятность в плоском случае?
2. Как определяется геометрическая вероятность в пространственном случае?
|
|
|
3. Каковы свойства геометрической вероятности?
