Статистическая вероятность

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность классического определения. Отмеченный недостаток может быть преодолен, в частности, введением геометрических вероятностей, и, конечно, использованием аксиоматической вероятности.

Слабая сторона классического определения состоит и в том, что часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными.

По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение.

Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически проведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой где m – число появления события, n – общее число испытаний.

Пример 4.1. Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартные детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем, что определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности. Эта вероятность называется статистической.

Пример 4.2. Английский ученый Пирсон произвел 23000 бросаний монеты. При этом герб появился 11512 раз. Значит относительная частота появления герба равна

Этот пример показывает, что за вероятность появления герба можно взять число 0,5.

Пример 4.3. По данным шведской статистики, относительная частота рождения девочек за 1935 год по месяцам характеризуется следующими числами: 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождения девочек.

Заметим, что статистические данные различных стран дают примерно то же значение относительной частоты.

Легко показать, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения сохраняются и при статистическом определении вероятности. Действительно, если событие достоверно, то m=n и относительная частота

,

т. е. статистическая вероятность достоверного события (так же как и в случае классического определения) равна единице. Если событие невозможно, то m= 0 и, следовательно, относительная частота равна нулю, т. е. статистическая вероятность невозможного события равна нулю.

Для любого события и, следовательно, относительная частота т. е. статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Для существования статистической вероятности события А требуется:

а) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;

б) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испытаний.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности.

Вопросы для самопроверки

1. Что такое относительная частота события?

2. Чему равна относительная частота достоверного события?

3. Чему равна относительная частота невозможного события?

4. В каких пределах заключена относительная частота случайного события?

5. Какое определение вероятности называется статистическим?

6. Какими свойствами обладает статистическая вероятность