Пластина в виде диска

Рассмотрим пластину в виде диска радиуса L_o и толщиной S (рис.4.2.б). В центре диска расположен источник энергии мощностью Р, занимавший область И радиусом r _о. Вся энергия от источника через торцевую поверхность области S^’ = 2 p r_о d передается диску, с поверхности которого S = 2 p (L_o² - r_o²) рассеивается в окружающую среду конвекцией и излучением; коэффициент теплоотдачи поверхностей диска a₁ и a₂ (a = a_k+ a_л), коэффициент теплопроводности диска l, температура окружающей среды t_c.

Найдем зависимость между мощностью источника и величиной перегрева в любой точке диска

Температурное поле диска описывается дифференциальным уравнением [4]

Граничными условиями здесь будут:

1. вся энергия источника через поверхность S^' передается

диску,

2.

мощностью, рассеиваемой торцом диска пренебрегаем

В работе [5] решение дифференциального уравнения с помощью тождественных преобразований приведено к безразмерному виду

N = 0,5 j. (4.I3).

Здесь N - безразмерная температура, равная

j - критерий.

Критерий j является функцией трех безразмерных параметров

j = j(r/L_o; r_o/L_o; g),

где g = (Bi)^0,5, здесь Вi = [(a₁ + a₂) / ld ] Lo² называется

критерием Био.

В работе [5] критерий j, как функция параметров, представлен в табличной форме.

Значение j на границе области И, т.е. при r/L_o = r_o/L_o для g = 1 - 6 приведено на рис. 4.3.

Рис.5.3.Зависимость Рис.5.4. Зависимость

j = j(r/L_o; r_o/L_o; g) g = g(c, r).

Из (4.13) и (4.13а) найдем выражение для теплового коэффициента

Если пластина и источник энергии представляет собой полукруг или четверть круга, то выражения тепловых коэффициентов будут иметь вид соответственно:

т.е. тепловые коэффициенты увеличиваются соответственно в два и четыре раза.

Чтобы учесть теплообмен края диска с окружающей средой в выражении (4.14) за радиус диска следует принять величину, большую реального радиуса на половину толщины диска

L'_o=L_o+0,55.

Температура перегрева в любой точке диска находится из выражения (4.14)

Особенность расчета температурного поля диска состоит в том, что коэффициенты теплоотдачи α₁ и α₂, входящие в γ, зависят от среднеповерхностной температуры диска ts, которая в свою очередь, определяется мощностью источника Р.

Расчет целесообразно проводить в следующей последовательности:

- задаются двумя среднеповерхностными перегревами диска и

для каждого из них находят коэффициент теплоотдачи α₁ и α₂

по формулам, приведениям в разделах 3 и 4;

- определяют мощность, рассеиваемую диском, для заданных

температур P = (α₁ + α₂) qs p (L_o² – r_o²);

- строится тепловая характеристика qs = f (P), по которой для

- заданной мощности находится среднеповерхностный перегрев

qs и для этого перегрева рассчитываются коэффициенты теп

лоотдачи α₁ и α₂;

- вычисляются критерий Bi, γ, r_o/L_o и задаются относительны-

ми координатами r/L_o точек диска;

- по таблицам в [4] находится критерий j = j(r/L_o; r_o/L_o; g) и по

формуле (4.15) рассчитывается перегрев в точках виска.

Перегрев в области источника энергии qo связан со среднеповерхностным перегревом диска соотношением

q_s = g q_o. (4.16)

Коэффициент неравномерности поля g зависит от двух

параметров

g = g(c, r),

На рис. 4.4 приведена зависимость g = g(c, r) для центрального положения источника.