Прямоугольная пластина

Пусть в центре прямоугольной пластины размерами L₁ и L₂, толщиной δ расположен источник энергии, занимающий область И радиусом r_o (4.5). Тепловая энергия от источника кондукцией через границы области И передается пластине, с поверхности которой рассеивается в окружающую среду конвекцией и излучением. Рассеиванием тепла с торцов будем пренебрегать. Суммарный коэффициент теплоотдачи с поверхностей пластины α1 и α2, коэффициент ее теплопроводности l.

Рис.4.5. Прямоугольная Рис.4.6. К замене прямоуголь-

пластина с источником ной пластины эквивалентным

энергии. диском.

Найдемсвязь между мощностью источника и температурой в любой точке пластины.

В отличие от диска температурное поле прямоугольной пластины зависит от двух координат x и y, что значительно усложняет расчет. Точное решение задачи весьма громоздко и для практических расчетов неприемлемо. Поэтому пользуются приближенными аналитическими выражениями, которые получены заменой прямоугольной пластины некоторым эквивалентным диском. Основанием для такой замены является то, что температурное поле прямоугольной пластины по своему характеру близко к температурному полю диска (рис.4.6). Искажение поля наблюдается только на периферии пластины.

Эквивалентным диском будем называть такое тело, которое, во-первых, рассеивает ту же мощность, что и реальная пластина, Р=Р_э. и, во-вторых, температура перегрева пластины в точке с координатами (x,y) с удовлетворительной точностью равна температуре перегрева эквивалентного диска в соответствующей точке с радиусом r, или, другими словами, среднеповерхностная температура перегрева пластины равна среднеповерхностной температуре перегрева эквивалентного диска

Выражая мощности, рассеиваемые реальной пластиной и эквивалентным диском через коэффициенты теплоотдачи и среднеповерхностные температуры, получим

С учетом второго условия будем иметь

где S и S_э - площадь теплоотдающей поверхности пластины

и эквивалентного диска.

Приняв толщину пластины и эквивалентного диска, их

коэффициенты теплопроводности и радиусы окружностей областей И равными λ = λ_э, δ = δ_э, r_o = r_oэ, и выбрав начало координат пластины центре области И, можно показать, что

координат пластины центре области И, можно показать, что размеры эвквивалентного диска и радиус его точки, соответствующей точке r пластины с координатами x, у, будут соответственно равны

Перейдя от прямоугольной пластины к эквивалентному диску, тепловой коэффициент любой точки с радиусом r, соответствующий точке пластины о координатами x и y будет выражаться аналогично (4.14)

Выразив в критерии Био параметры эквивалентного диска через параметры пластины и положив a₁ + a₂ = 2 a, получим

Площади теплоотдающих поверхностей пластины S и эквивалентного диска S_э (с одной стороны) равны

Расчет температурного поля прямоугольной пластины, после замены ее эквивалентным диском, выполняется аналогично изложенному выше расчету температурного поля диска с учетом соотношения параметров - координат точки, геометрических размеров диска и критерия g.

Перегрев пластины в области И q_ro находится, как и для диска, из соотношения

q_s = g q_ro,

где q_s - среднеповерхностный перегрев пластины.

Kоэффициент g = f(r, c) находится из графика (рис.4.4), но здесь