Потенциал точечного источника

Допустим, нам надо измерить удельное электрическое сопротивление ρ однородной геологической среды, не вырезая из нее образцы, например, если эти геологические образования залегают на поверхности земли и в некотором масштабе их можно считать полупространством. Требуется определить значения ρ, используя постоянный ток. Прежде всего, рассмотрим самый простой случай. Пусть на поверхности однородного проводящего полупространства находится точечный источник, то есть такой источник, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстояниями, на которых мы собираемся исследовать поле. Пусть через этот источник в среду втекает ток I. В качестве такого источника используется, как правило, металлический электрод или группа электродов (заземлений), которые подключены к какому-либо устройству, создающему ток. Разумеется, должно быть и заземление, через которое ток вытекает из среды, но в данном случае мы полагаем, что оно очень далеко, «на бесконечности», и его влиянием можно пренебрегать. Проводимость воздуха считаем равной нулю (Рис. 1.1.).

В силу симметрии задачи ток растекается радиально, а эквипотенциальные поверхности представляют собой концентрические полусферы с центром, расположенным в источнике. Мысленно окружим наш источник полусферой радиуса r. Площадь этой полусферы равна 2π r ². Очевидно, весь ток, втекающий в среду, будет протекать через эту полусферу, В силу симметрии плотность тока j во всех точках сферы будет одинакова и равна I /2π r ². В свою очередь, напряженность электрического поля связана с плотностью тока законом Ома: . Таким образом, находим модуль напряженности поля на расстоянии r от источника: Напряженность поля связана с потенциалом формулой: . В сферической системе координат, с учетом отсутствия из-за симметрии задачи производных по φ и по θ, модуль напряженности поля выражается через потенциал так: Отсюда легко находим . Так как на бесконечности потенциал нулевой, константу «с» положим равной нулю. Окончательно для потенциала на расстоянии r от точечного источника получаем:

. (1)