Понятие множества

Понятие множества, подобно понятиям точки, числа и т.д., не сводится к другим понятиям математики и не определяется. Вместо определения этого понятия приведем примеры. Можно говорить о множестве всех учеников данной школы, о множестве всех людей на Земле, о множестве всех клеток человеческого тела, о множестве всех картофелин на картофельном поле, о множестве всех треугольников на плоскости, множестве целых числе, множестве всех точек данного квадрата и т.д.

Когда в математике говорят о множестве, то объединяют некоторые предметы или понятия в одно целое – множество, состоящее их этих предметов. Основатель теории множеств Георг Кантор (1845 –1918) выразил это следующими словами: «Множество есть многое, мыслимое, как единое».

Предметы (объекты), составляющие некоторое множество, называются его элементами. То обстоятельство, что объект х является элементом множества А, записывают так: (читается: x есть элемент множества А, или х принадлежит А, или х содержится в А, или А содержит х). Если объект х не является элементом А, то это записывают так: (читается: x не есть элемент множества А, или x не принадлежит А, или х не содержитсяв А, или А не содержит х).

Например, если А есть множество всех четных натуральных чисел, то , , , , "слон" и т.д.

Множество иногда можно задать перечислением его элементов. Например, множество стран на земном шаре задается их списком в географическом атласе. Множество учеников класса – их списком в классном журнале, множество слов, использованных А.С.Пушкиным в его произведениях, – их списком в «Словаре пушкинского языка». Если множество задано списком, то употребляются фигурные скобки, в которые помещают названия всех элементов множества, разделенные запятыми. Так, {1, 2, 3} обозначает множество, состоящее из чисел один, два, три и только из них.

Но не все же множества можно задать списком. Если множество содержит бесконечно много элементов, то такой список составить нельзя. Множество считается заданным, если указано некоторое свойство, которым обладают все его элементы и не обладают никакие другие объекты. Такое свойство называется характеристическим свойством множества. Одно и то же множество может быть задано различными характеристическими свойствами. Например, множество {2,4} может быть задано как:

а) множество четных чисел, удовлетворяющих неравенству 1< x <5;

б) множество корней квадратного уравнения

.

Задание множества его характеристическим свойством применяется в геометрии. В геометрии множество точек, обладающих данным характеристическим свойством, часто называют геометрическим местом точек с данным свойством. Например, биссектриса угла есть геометрическое место точек плоскости, лежащих внутри этого угла и равноудаленных от его сторон.

Множество элементов, обладающих данным характеристическим свойством, обозначают так: пишут фигурные скобки, в них – обозначение элемента множества, после него – двоеточие, а потом – характеристическое свойство. Например, запись означает, что множество А состоит из все чисел х, удовлетворяющих неравенству . А запись означает, что множество А состоит из всех точек М плоскости, таких, что сумма расстояний и равна 10.

Рассмотрим множество, заданное следующим образом:

.

Это множество состоит из всех чисел, которые можно представить дробью вида , где n – любое натуральное число. Например, , так как , а , так как при любом натуральном n имеем: . Решая это уравнение, получим, что . Ясно, что n не является натуральным числом.