Ламінарний рух рідини

Теорія ламінарного руху рідини ґрунтується на законі тертя Ньютона

,

Знаки " ± " означають, що дотичні напрями в сусідніх шарах однакові по величині, але протилежно направлені. Для отримання виразів по обчисленню параметрів ламінарного потоку розглянемо сталу течію в круглій прямій трубі радіусу r₀, розташованій горизонтально (рис. 5).

Рис. 4.5. До теорії ламінарного руху рідини в трубі

Для цього випадку z₁ = z₂ і V_cp = f(l) = соnst. В цьому випадку рівняння Бернуллі набуває вигляду:

(5)

Звідси втрати на тертя

(6)

Виділимо в потоці рідини циліндричний об'єм радіусом r і завдовжки l, співісний з трубою. Умовою його рівноваги є рівність нулю суми сил нормального тиску, що діють на торці виділеного об'єму, і сил тертя, що діють уподовж його бічної поверхні. Отже,

(7)

Звідси

(8)

Висновок: при ламінарному русі дотичне напруження за радіусом трубопроводу змінюється по лінійному закону. Швидкість при цьому з урахуванням 4.1 і 4.8

(.9)

Тобто швидкість змінюється пропорційно квадрату радіусу. Оскільки елементарна витрата dQ = VdS, то сумарна витрата в трубопроводі

(10)

Звідси можна визначити середню швидкість

(11)

Порівнюючи (4.11) з (4.8) при r = 0 одержимо, що

(12)

Визначивши питому кінетичну енергію за фактичною швидкістю з урахуванням (4.9) і порівнюючи її з питомою кінетичною енергією, визначеною по середній швидкості, одержимо

(12)

Втрати напору на тертя, виражені через витрату, визначаються залежністю

(14)

Висновок: при ламінарній течії в круглій трубі втрати напору на тертя пропорційні витраті рідини і в'язкості і обернено пропорційні діаметру в четвертому ступені.

Втрати на тертя можна виразити і через швидкість

(15)

де = 64/Rе - коефіцієнт опору тертя при ламінарній течії (погонний).

Вираз (4.15) відомий як формула Дарсі. Викладена теорія ламінарного руху рідини в круглій трубі добре підтверджується практикою у всіх випадках, за виключенням:

– У початковій ділянці труби, де відбувається поступове встановлення параболічного профілю швидкостей.

– При течії із значним теплообміном, тобто при русі рідини з нагріванням або охолоджуванням.

– За дуже великих перепадів тиску (р > 300 кгс/см² = 300 10⁵ Па), коли в’язкість залежить від тиску.