Краевые задачи

Для уравнения с частными производными - задача определения в некоторой области D переменных решения u(x) уравнения

удовлетворяющего на границе S, этой области (или ее части) определенным краевым условиям

Как правило, краевые условия связывают граничные значения решения с его производными до некоторого порядка, то есть выявляется дифференциальным оператором. Однако встречаются и краевые условия других типов.

Для данного дифференциального уравнения целесообразность рассмотрения той или иной краевой задачи. часто определяется понятием ее корректной постановки. Именно, краевая задача, корректно поставлена, если ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от данных этой задачи. Различные типы дифференциальных уравнений требуют различных корректно поставленных краевых задач, и обратно, корректные постановки краевой задачи иногда могут служить основой для классификации типов дифференциальных уравнений.

Краевая задача называется линейной, если операторы L и В линейны, и однородной, если f и j в (1), (2) равны нулю. Линейная краевая задача. называется нетеровой, если:

а) однородная задача имеет конечное число kлинейно независимых решений;

б) неоднородная задача разрешима тогда и только тогда, когда f и j удовлетворяют lлинейно независимым условиям типа условий ортогональности;

в) при условии однозначной разрешимости решение непрерывно зависит от f и j.

Если k=l, то задача наз. фредгольмовой. Разность k-lопределяет индекс задачи