Критерий Сильвестра

Теорема: Квадратичная форма является положительно определенной в некотором (любом) базисе все главные миноры матрицы квадратичной формы являются положительными. Квадратичная форма является отрицательно определенной в любом базисе главные миноры четного порядка матрицы квадратичной формы положительны, а главные миноры нечетного порядка – отрицательны.

Без доказательства.

Определение: главные миноры матрицы – миноры, получающиеся вычеркиванием последних строк и столбцов.

Замечание: Пусть и . Матрица квадратичной формы второго дифференциала (или матрица Гессе) в точке имеет вид:

в точке .

Теорема: (о равенстве смешанных производных)

Пусть и . Пусть такая, что существует непрерывные . Тогда .

Доказательство: Возьмем и такие, что , и такие, что .

Рассмотрим следующее выражение: . Обозначим , (т.к. дифференцируема, по теореме Лагранжа такая, что) (т.к. функция дифференцируема по , по теореме Лагранжа такая, что) . Аналогично рассмотрим функцию , получаем, что такие, что .