Производные по векторам. Касательная плоскость

Опр.: Пусть , и некоторый вектор . Производной функции по вектору в точке называется число:

, если оно существует.

Замечание: если , то производная по вектору является производной по направлению.

Частные производные являются производными по векторам .

Опр.: Пусть , и имеет все частные производные в точке . Градиентом функции в точке называется вектор .

Теорема: Пусть , и . Тогда .

Без док-ва.

Замечание: Если функция имеет все производные по векторам, из этого не следует дифференцируемость.

Опр.: Пусть и . Касательной плоскостью к графику функции в точке называется плоскость, заданная уравнением или

.

Если имеется функция и уравнение и в точке , такой что касательная плоскость к графику функции имеет вид:

.