Закон минимальной диссипации

Учеными давно подмечены определенные тенденции развития самопроизвольных процессов в природе. В разное время эти тенденции были зафиксированы в виде особых принципов. Больше всего принципов существует в механике. Есть они также в термодинамике и химии. Например, известны принципы наименьшего действия Гамильтона-Остроградского и Мопертюи-Лагранжа, наименьшего принуждения Гаусса, наименьшей кривизны Герца, наименьшей потенциальной энергии и т.д. Известная теорема Пригожина относится к тому же классу принципов: она охватывает немеханические явления в условиях малого отклонения системы от равновесия.

Анализ показывает, что все подобного рода принципы и наблюдаемые в природе тенденции находят строгое обоснование и объяснение в общей теории. С помощью ее законов можно вывести в качестве частных случаев упомянутые и многие другие принципы, причем для понимания происходящего важное значение имеет закон экранирования (диссипации). Из этого закона, например, следует, что природе присуще свойство наименьших потерь, или, иначе говоря, свойство экономии активности любой данной элаты. Суть этого свойства заключается в следующем.

Все экстенсоранты ансора связаны между собой некоторыми силами. Эти силы характеризуют энергию связи, определяемую формулами (256) и (259), а также величину сопротивления, оказываемого ансором переносу экстенсоров и определяемого работой трения (183). Таким образом тесно переплетаются энергетические и силовые характеристики процесса, описываемые главными законами общей теории. Благодаря этому очень легко прослеживаются основные тенденции развития любого реального процесса.

Например, если некоторый экстенсор dЕ распространяется под влиянием определенной разности интенсиалов dР, то это значит, что на него в направлении убывания интенсиала действует избыточная сила, пропорциональная dР. Что касается боковых усилий, то они в каждый данный момент уравновешиваются благодаря немедленному реагированию экстенсора и смещению его в сторону меньшего усилия, т.е. в сторону наименьшего сопротивления. Поэтому экстенсор всегда распространяется по линии наименьшего силового сопротивления, что соответствует наименьшей работе диссипации (183), а следовательно, и наименьшему выделению экранированного термиора (184). Это согласуется с теоремой Пригожина.

В каждый данный момент экстенсор распространяется в сторону максимального падения интенсиала, что отвечает линии наибольшего ската в механике. Согласно закону переноса, распространение экстенсора продолжается до тех пор, пока имеются разности интенсиалов. Распространение прекращается, когда наступает равновесие и экстенсор достигает наинизшего значения интенсиала. Но это значит, что в процессе произошло максимальное общее изменение интенсиала и выделилось наибольше возможное количество экранированного термиора (принцип максимума энтропии). При этом оставшаяся энергия связи экстенсорантов и экранирования термиора оказывается минимальной (принцип наименьшей потенциальной энергии). Применительно к кинетиате принцип наименьшего выделения экранированного термиора означает, что изменение кинетиала dР_m (ускорение) ансора должно быть минимальным. Это соответствует принципу наименьшей кривизны пути Герца.

Рассмотрим более подробно принцип наименьших потерь, или принцип экономии активности элаты, который будем именовать в дальнейшем законом минимальной диссипации [14]. Этот закон справедлив для любых – нестационарных, стационарных и равновесных – условий. Начнем с обсуждения самого общего случая – кинетодинамической системы.

Если неравновесную систему, обладающую n степенями свободы, предоставить самой себе, то в ней возникает произвольное нестационарное перераспределение экстенсоров. Все процессы в такой системе протекают в направлении установления равновесия, т.е. в направлении снижения имеющихся разностей интенсиалов DР_дi. При этом распространение экстенсоров в любой точке системы и в каждый данный момент происходит, как уже отмечалось, при минимальной работе трения. Согласно уравнению (190), это соответствует наименьшей возможной скорости выделения экранированного термиора в объеме системы, т.е.

s = s_min = вт/(м³×град). (295)

Это есть уравнение закона минимальной диссипации. Оно справедливо для любой системы и любого момента времени.

В большинстве случаев знания потоков и сил или экстенсоров и интенсиалов вполне достаточно для того, чтобы, пользуясь уравнением закона экранирования, непосредственно вычислить термиор диссипации, а также с помощью остальных законов найти все необходимые характеристики изучаемого процесса. При этом нет надобности прибегать к закону минимальной диссипации. Вместе с тем на практике встречаются также случаи, когда заранее не ясно, какие окончательные свойства должен приобрести установившийся процесс. В этих условиях хорошую услугу оказывает закон минимальной диссипации. При этом составляется уравнение для скорости возникновения термиора диссипации, выраженное через определенные характеристики процесса, и находится минимум соответствующей функции путем ее дифференцирования и приравнивания нулю полученного результата. В найденной таким способом формуле содержатся необходимые сведения об изучаемом процессе. Для нестационарных систем закон минимальной диссипации позволяет установить, например, форму фронта затвердевания в металлургических отливках сложной конфигурации и т.д.

Частным случаем закона минимальной диссипации является известная теорема Пригожина, согласно которой при весьма малом отклонении системы от состояния равновесия соблюдается принцип минимального возникновения энтропии. Эта теорема была доказана Пригожиным с помощью соотношений взаимности Онзагера. Закон минимальной диссипации справедлив при любом отклонении системы от состояния равновесия.

Если условия на границах препятствуют переходу нестационарной системы в равновесное состояние, то устанавливается стационарный режим переноса экстенсоров. В течение всего периода его установления действует закон минимальной диссипации. Следовательно, и в момент наступления стационарного режима (при t ® ¥) этот закон также соблюдается. Поэтому всякий стационарный процесс переноса экстенсоров характеризуется минимально возможной скоростью выделения термиора диссипации и описывается прежней формулой (295).

Весьма разнообразны возможности приложения закона к стационарным системам. Например, с помощью закона минимальной диссипации найден диаметр пятна в вольтовой дуге (О.И. Авсеевич и И.Г. Некрашевич) и т.д.

Если условия на границах допускают установление равновесия в системе, то в этом частном случае закон минимальной диссипации дает нулевую скорость выделения экранированного термиора, ибо DР_дi = 0. Имеем

s = 0. (296)

Этот простейший частный случай закона минимальной диссипации чрезвычайно широко применяется в химии при изучении равновесия химических реакций. Равенство (296) означает, что термиор равновесной системы не изменяется со временем. Но в процессе нестационарного установления равновесия термиор диссипации выделялся. Отсюда следует, что к моменту установления равновесия величина термиора системы приобретает максимальное значение

Q = Q_max дж/град. (297)

В химию этот результат попал из классической термодинамики, которая способна изучать только равновесные системы. Разумеется, там принять говорить не о термиоре, а об энтропии.

В заключении покажем, что известный принцип наименьшего действия механики также вытекает из закона минимальной диссипации. Действие имеет размерность энергии, умноженной на время, или количества кинетического движения К, умноженного на перемещение. Согласно принципу наименьшего действия, на практике реализуются только те движения механической системы, которые соответствуют минимальному действию. Чтобы доказать это положение, воспользуемся для кинетиаты уравнением (205)

U_m = (1/2)mw² = (1/2)m(dx/dt)².

Отсюда получается

2U_mdt = (R/dt)dx²(m/R) дж×сек. (298)

В левой части этой формулы стоит искомое действие, а в правой – работа диссипации для перемещательной элаты (метриаты), определяемая равенством (187). Согласно закону минимальной диссипации, эта работа в реальных процессах минимальна, что и требовалось доказать. Формула (298) характеризует физический смысл принципа наименьшего действия, а дополнительный множитель m/R определяет границы применимости этого принципа. Множитель m/R важен для процессов с переменной массой.

По мере внедрения в расчетную практику методов общей теории роль упомянутых выше частных принципов, вытекающих из закона минимальной диссипации, должна снижаться. Раньше к ним приходилось прибегать из-за того, что были неизвестны некоторые законы общей теории. Теперь с помощью этих законов многие теоретические и практические задачи решаются значительно проще и нагляднее.