Скалярные и векторные величины. Три условия векторности величины. Примеры и контрпримеры. Аксиальные векторы

МОДУЛЬ I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1.1. Лекция 1. Векторы. Инвариантная теория

Скалярные и векторные величины. Три условия векторности величины. Примеры и контрпримеры. Аксиальные векторы. Формализация: свободные геометрические векторы и операции над ними. Линейные комбинации и линейная зависимость. Коллинеарность и компланарность; их связь с линейной зависимостью.

Вначале будем изучать векторы независимо ни от какой системы координат, т.е. "сами по себе" (термин Иммануила Канта). Иными словами, будем строить инвариантную теорию векторов. Именно такая теория имеет ряд преимуществ при записи физических законов.

Скалярные и векторные величины. Три условия векторности величины. Примеры и контрпримеры. Аксиальные векторы

Сущности, которые при выбранной единице измерения могут быть однозначно заданы числом, называют скалярными величинами. Таковы масса, плотность, время, энергия, температура и т.д. Но в природе есть и более сложные сущности. Например, для задания скорости нужно указать не только ее величину, но и направление. То же можно сказать о силе, ускорении, угловой скорости, повороте... Однако, как будет показано ниже, эти сущности обладают различными алгебраическими свойствами.

Векторными величинами физики договорились называть сущности, которые:

а) однозначно задаются числом (при выбранной единице измерения) и направлением;

б) это направление существует "само по себе", т.е. не зависит ни от каких договоренностей (правило левой руки, правило буравчика, и т.п.);

в) складываются с себе подобными по правилу параллелограмма.

При этом нужно указать, что понимается под сложением двух физических величин, а это не всегда просто.

Самый простой пример векторных величин - силы, приложенные к одной точке.

Обратимся к угловой скорости. В качестве ее направления можно взять ось вращения. Но при выборе направления этой оси остается неопределенность в . Для устранения ее как раз и требуется договоренность типа "правила буравчика", а это нарушает условие б) определения вектора. Условие в) определения при этом выполняется.

Сущности, удовлетворяющие условиям а), в), но не удовлетворяющие условию б), называют псевдовекторными величинами или аксиальными (осевыми) векторными величинами. Еще сложнее обстоит дело с поворотами. Под операцией сложения поворотов естественно понимать последовательное выполнение поворотов. Нетрудно указать повороты , такие, что , т.е. сложение поворотов некоммутативно. (Возьмите прямоугольный параллелепипед, например книгу, и поупражняйтесь.) Но правило параллелограмма коммутативно! Значит, повороты складываются по иному правилу. Тем самым для поворотов нарушается условие в) определения векторной величины, и они не являются таковыми.

Формализация: свободные геометрические векторы. Коллинеарность, компланарность.

Было бы слишком затратно строить отдельно исчисления векторов сил, векторов скоростей и т. д. Несмотря на очевидные различия, у них много общего. Именно эта общность является основанием математической абстракции – введения понятия свободного геометрического вектора.

Направленный отрезок в пространстве будем называть свободным геометрическим вектором. Два таких вектора считаются равными, если они могут быть совмещены параллельным переносом. Очевидно, если вектор равен вектору , то вектор равен вектору . Если равен , а равен , то равен . Рассматривают также скользящие и связанные векторы. Для них дается другое определение равенства. В дальнейшем будем рассматривать только свободные векторы и называть их просто векторами.

Векторы называют коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны. Векторы называют компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Два вектора всегда компланарны, три – нет. (Проверьте!)

Линейными операциями над векторами называют операции сложения векторов по правилу параллелограмма и умножения векторов на числа, известные из школьного курса. Отметим, что по правилу параллелограмма складываются две силы, приложенные к одной точке, а по известному правилу треугольника - перемещения. (Как обосновываются эти утверждения?) Для свободных векторов эти два правила равносильны, хотя их физические прообразы имеют совершенно разную природу. Это есть достойный удивления факт нашего мира.

Вектор нулевой длины называется нулевым вектором и обозначается .

Легко проверить следующие алгебраические свойства линейных операций:

1) (коммутативность сложения);

2) (ассоциативность сложения);

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

Вектор обозначается . Разностью векторов и называется сумма векторов и . Она обозначается .

Свойства 1), 2) проиллюстрированы на рис. 1.

Рис.1. Правило параллелограмма. Ассоциативность сложения