Експонентні твірні функції

Скориставшись залежністю між числами r-сполучень і
r-перестановок з різних елементів для сполучень, можна записати

,

тобто число r-перестановок з різних елементів є коефіцієнтом при у розкладанні (1 + x) . Доцільно узагальнити цей факт і на інші види перестановок.

Експонентні твірні функції. Визначимо твірну функцію для r-перестановок з необмеженими повтореннями так, щоб U(n, r) = було коефіцієнтом при Тому що

,

то ряд , що є розкладанням експонентної функції, можна прийняти в якості енумератора для U(n, r). Подібні енумератори називають експонентними твірними функціями. З їхньою допомогою можна обчислювати число перестановок різних типів.

Приклад. Якщо r-перестановки утворюються з множини п елементів зі специфікацією причому , то для кожного класу елементів ряд обмежується числом , і, отже, енумератор має вигляд:

Приклад. Шукані r-перестановки з обмеженими повтореннями визначаються чисельними значеннями коефіцієнтів . Останній член

визначає число перестановок з n елементів по n з повтореннями, тобто , що збігається з результатом, отриманим іншим способом для перестановок.