Біном Ньютона

Поставимо у відповідність кожному об'єкту з множини { } двочлени вигляду 1+ і перемножимо їх:

(1+ ... =

Коефіцієнт багаточлена являє собою суму добутків, кожний з яких є утворений r елементами з n (r-cпoлучень), причому всього в є C(n, r) таких добутків.

Біномом Ньютона і біноміальні коефіцієнти. Якщо покласти , то будь-Якій добуток r-сполучень елементів дорівнює одиниці і, отже, , у такому випадку

(1+x) =

Це вираження називають біномом Ньютона, а r-сполучення з
n різних елементів C(n, r) є біноміальними коефіцієнтами.

Якщо визначити якім-небудь способом a_r, можна знайти і значення C(n, r). Навпаки, якщо обчислити числа сполучень з n елементів по
r = 0, 1,..., n, можна одержати коефіцієнти розкладання (1+x) .

За допомогою бінома Ньютона можна вивести формули сполучень.

Приклад. Поклавши x = 1 і x = -1, маємо

Перша з цих формул визначає, зокрема, кількість усіх підмножин деякої множині. Якщо продиференціювати біном Ньютона за x і покласти x = -1, можна одержати

,

а якщо продиференціювати k раз за x, розділити на k! і покласти x = 1, можна прийти до співвідношення

, .

Контрольні запитання

1. Що є r-перестановкою?

2. Що є r-сполученням?

3. Що таке специфікація та сімейство представників?

4. У чому полягає правило суми і добутку?

5. Що є перестановки без повторювань елементів?

6. Яка різниця між перестановками без повторювань і з повторюваннями елементів?

7. Що є сполученням без повторювань елементів?

8. Яка різниця між сполученнями без повторювань і з повторюваннями елементів?

9. Як визначити перестановки і сполучення з допомогою рекурентних співвідношень?

10. Що є біномом Ньютона і біноміальними коефіцієнтами?