Основы теории графов

На практике часто бывает полезно изобразить некоторую ситуацию в виде рисунков, составленных из точек (вершин), представляющих основ-ные ситуации, и линий (ребер), соединяющих определенные пары этих вершин и представляющих связи между ними. Таким способом удобно представлять структуру системы (вершины – блоки, ребра – связи между блоками). Удобны графы при исследовании систем методом пространства состояний. В этом случае вершины – состояния системы, процесса, ребра – действия, которые могут изменить состояние. При решении оптимиза-ционных задач вершинами могут быть предполагаемые решения, ребрами – правила для их нахождения.

Такие рисунки известны под общим названием графов. Графы встре-чаются в разных областях под разными названиями: “структуры” в гражд-анском строительстве, “сети” в электротехнике, “социограммы” в социо-логии и экономике, “молекулярные структуры” в химии, и т. д.

Начало теории графов как математической дисциплины было поло-жено Эйлером в знаменитом рассуждении о Кенигсбергских мостах. Од-нако эта статья, написанная в1736 г, была единственной в течение почти ста лет. Интерес к этой науке возродился около середины ХIХ в. в связи с развитием естественных наук (исследования электрических сетей, моделей кристаллов и структур молекул), формальной логики (бинарные отноше-ния можно изучать в форме графов). Кроме того, оказалось, что многие математические головоломки могут быть сформулированы в тер-минах теории графов. Это приводило к пониманию того, что многие зада-чи такого рода содержат некоторое математическое ядро, важность кото-рого выходит за рамки конкретного вопроса. Наиболее знаменитая из них – проблема четырех красок (сформулирована Де Морганом в 1850г.).

Последние 35 – 40 лет ознаменовали новый период интенсивных раз­работок в теории графов. Появились новые области приложения: теория игр и программирование, теория передачи сообщения, электрических се­тей и контактных цепей, биология, психология.

Основные определения