Характеристики графов

Решение многих технических задач методами теории графов сводится к определению тех или иных характеристик графов, поэтому полезно знакомство со следующими характеристиками.

Цикломатическое число. Пусть G(X) – неориентированный граф, имеющий n вершин, m ребер и r компонент связности. Цикломатическим числом графа G называется число n(G) = m – n + r.

Это число имеет интересный физический смысл: оно равно наибольшему числу независимых циклов в графе. При расчете электрических цепей цикломатическим числом можно пользоваться для определения числа независимых контуров.

Хроматическое число. Пусть p – натуральное число. Граф G(X) называется р-хроматическим, если его вершины можно раскрасить различными цветами так, чтобы никакие две смежные вершины не были раскрашены одинаково.Наименьшее число р, при котором граф является р-хроматическим, называется хроматическим числом графа и обозначается g(G). Если g(G) = 2, то граф называется бихроматическим. Необходимым и достаточным условием того, чтобы граф был бихроматическим, является отсутствие в нем циклов нечетной длины.

Хроматическое число играет важную роль при решении задачи наиболее экономичного использования ячеек памяти при программировании. Однако его определение, за исключением g(G) = 2, представляет собой довольно трудную задачу, требующую применения ЭВМ.

Множество внутренней устойчивости. Множество S £ X графа G(X) называется внутренне устойчивым, если никакие две вершины из S не являются смежными, то есть для любого х Î S имеет место

G(x) Ç S = Æ.

Множество внутренней устойчивости, содержащее наибольшее число элементов, называется наибольшим внутренне устойчивым множеством, а число элементов этого множества называется числом внутренней устойчивости графа G. Наибольшее внутренне устойчивое множество играет важную роль в теории связи.

Множество внешней устойчивости. Множество T Ì X графа G(X) называется внешне устойчивым, если любая вершина, не принадлежащая T, соединена дугами с вершинами из T, то есть для любого x Ï T имеет место G(x) Ç T ¹ Æ.

Множество внешней устойчивости, содержащее наименьшее число элементов, называется наименьшим внешне устойчивым множеством, а число элементов этого множества называется числом внешней устойчивости графа G(X).