double arrow

Пример 1. Найти корни уравнения х2*cos(2х)+1 = 0 на отрезке [0;2π]

Найти корни уравнения х2 *cos (2х)+ 1 = 0 на отрезке [0;2π]

Для отделения корней построим таблицу значений функции на заданном ин­тервале. Выделим отрезки, на которых функция изменяет знаки.

В таблице выделены диапазоны аргумента, где функция меняет свой знак с + на - или с — на + (рисунок 1). В каждом из этих интервалах находится только один ко­рень уравнения. Для нашего примера это интервалы [1,047; 1,309], [2,094; 2,356], [3,927; 4,189], [5,236; 5,498].

Уточнение корней продемонстрируем на двух методах: методе подбо­ра параметра и методе половинного деления.

Рисунок 1 - Таблица и график функции к примеру 1

4.1.2 Нахождение корней методом подбора параметра

Корень при помощи подбора параметра находим методом последова­тельных приближений. Продолжение примера 1

Введем в ячейку А1 значение, являющееся приближением к искомому корню. В нашем случае первым отрезком локализации корня является [1,047; 1,309]. Возьмем за начальное приближение среднюю точку этого отрезка 1,246.

Отведем ячейку (например В1) под функцию, для которой ведется поиск кор­ня. Введем формулу в ячейку В1 (рисунок 2).

Рисунок 2

Выбираем команду Сервис —> Подбор параметра. На экране появится диалоговое окно Подбор параметра (рисунок 3).

Рисунок 3 – Диалоговое окно Подбор параметра

В поле Установить в ячейке вводим абсолютную ссылку на ячейку В1 (т.е. $В$1). В этом поле указывается ссылка на ячейку, в которой введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения. В правой части уравнения при этом переменной быть не должно.

В поле Значение записываем значение правой части уравнения (в нашем случае 0).

В поле Изменяя значение ячейки записываем абсолютный адрес ячей­ки, содержащую переменную. В нашем случае — $А$1.

Нажимаем ОК.

На экране отображается окно Результат подбора параметра, в кото­ром указывается, что решение найдено. Значения корня и функции соответ­ственно указаны в ячейках А1, В1 (рисунок 4).

В ячейке А1 находится первый корень уравнения — 1,183, в ячейке В1 — значение функции, равное 0,00012.

Аналогично находятся три других корня.

Рисунок 4 - Окно результата подбора параметра

4.1.3 Нахождение корней уравнения методом половинного деления

Алгоритм этого метода сводится к последовательному делению отрез­ка локализации корня пополам. Процесс деления отрезка продолжается до тех пор, пока его длина не станет меньше 2ε, где ε — точность нахож­дения корня. В этом случае любая точка отрезка локализации отличается от корня не более чем на ε.

Пусть в качестве первого приближения к корню возьмем середину от­резка [ a;b ], т.е.

Если F(a) * F(x) < 0, то корень находится в интервале [ а;х ], который берем за новый отрезок локализации корня. Если F(a) * F(x) > 0, то за но­вый отрезок локализации берем интервал [ х;b ].

Новый отрезок локализации в два раза меньше первоначального. Про­цесс деления отрезка продолжаем до тех пор, пока его длина не станет меньше 2ε.

Таблица 1 - Вычисление корня методом половинного деления

Ячейка Формула либо значение
В1 0,001
A3 2,09
ВЗ 2,35
СЗ =(АЗ+ВЗ)/2
D3 =(A3^2*cos(2*A3)+l)*(C3^2*cos(2*C3)+l)
ЕЗ =C3^2*cos(2*C3)+l
F3 =ЕСЛИ(ВЗ-АЗ<(2* $В$ 1);"Корень найден и равен " &СЗ; "Корень не найден")
А4 =ECJIИ(D3<=0;A3;C3)
В4 =ECJIИ(D3<=0;C3;B3)
С4 =(А4+В4)/2
D4 =(А4^2 * cos(2 * А4)+1) * (С4^2 * соs(2 * С4)+1)
F4 =ЕСЛИ(В4—А4<(2*$В$ 1);"Корень найден и равен " &С4; "Корень не найден")

Продолжение примера 1

Пусть в нашем примере требуется найти корни уравнения F(x) = 0 с точнос­тью до 0,001. В качестве примера рассмотрим уточнение корня в интервале [2,09;2,35] Для реализации этого метода напишем последовательность вычисле­ний, введя в ячейки рабочего листа (таблица1) формулы (C3:F4 и А4:В4) и зна­чения (АЗ:ВЗ).

В диапазон C4:F4 формулы вводят не с клавиатуры, а копируя их из диапазо­на C3:F3. Аналогично копированием заполняется диапазон A5:F11 до тех пор, пока в столбце F не появится надпись — Корень найден и равен и значе­ние найденного корня (рисунок 5).

Рисунок 5 - Результаты уточнения корня методом половинного деления

Аналогично находятся все остальные корни уравнения.

4.2 Решение систем нелинейных уравнений графическим методом

Пусть требуется найти решение системы двух нелинейных уравне­ний. Будем искать его графически с заданной точностью. Графическое решение системы двух уравнений есть точка их пересечения.

Пример 2. Найти графически решение системы уравнений

на отрезке [0,2; 3] с шагом 0,2 с точностью 0,001.

Шаг 1. Построим таблицу для х, у1, у2. Столбец х заполним значениями от 0,2 до 3 с шагом, заданном в условии. В столбец у1 введем формулу =LOG10(B7)-2 и растянем до ячейки С21. В столбец у2 введем формулу =-2*В7 + 1 и растянем ее до ячейки D21. Затем с помощью мастера диаграмм строим графики двух функций у1 и у2 (рисунок 6). Определяем визуально точку пересечения графиков и начинаем ее уточнять до заданной точности.

Рисунок 6 - Графическое решение системы нелинейных уравнений (шаг 1)

Шаг 2. Строим новую таблицу, в качестве диапазона для х выбираем диапа­зон из предыдущего шага, в котором лежит точка пересечения. В нашем приме­ре это диапазон от 1,3 до 1,45. В столбцы у1 и у2 вносим те же формулы, что и на шаге 1, и растягиваем их на весь диапазон значений х. Строим с помощью мастера диаграмм графики и снова визуально определяем точку их пересечения (рисунок 7).

Рисунок 7 - Графическое решение системы нелинейных уравнений (шаг 2)

Повторяя, таким образом, шаги и сужая на каждом шаге интервал по перемен­ной х, определяем координаты точки пересечения графиков с заданной точнос­тью (рисунок 8).

Рисунок 8 - Графическое решение системы нелинейных уравнений (шаг 3)


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: