double arrow

Функциональные отношения


Пусть r Í Хх Y.

Функциональное отношение– бинарное отношение r,для которого

" х Î Dr $ ! y Î Y: х r y.

Всюду определённое отношение– бинарное отношение r, для которого Dr ("нет одиноких х").

Сюръективное отношение – бинарное отношение r, для которого Jr = Y("нет одиноких y").

Инъективное отношение – бинарное отношение, в котором разным хсоответствуют разные у.

Биекция– функциональное, всюду определённое, инъективное, сюръективное отношение, задаёт взаимно однозначное соответствие множеств.


Например:

Пусть r = { (x, y) Î R2 | y2 + x2 = 1, y > 0 }.

Отношение r - функционально,

не всюду определено ("есть одинокие х"),

не инъективно (есть разные х,которым соответствуют одинаковые у),

не сюръективно ("есть одинокие у"),

не биекция.

Например:

Пусть Ã= {(x,y) Î R2 | y = x+1}

Отношение Ã- функционально,

Отношение Ã- всюду определено ("нет одиноких х"),

Отношение Ã- инъективно (нет разных х,которым соответствуют одинаковые у),

Отношение Ã- сюръективно ("нет одиноких у"),

Отношение Ã- биективно, взаимно-однородное соответствие.

Например:

Пусть j={(1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4)} задано на множестве N4.

Отношение j - не функционально, x=1 соответствует три y: (1,2), (1,3), (1,4)

Отношение j - не всюду определенно Dj={1,2,3}¹ N4

Отношение j - не сюръективно Ij={1,2,3}¹ N4

Отношение j - не инъективно, разным x соответствуют одинаковые y, например (2,3) и (1,3).

Задание к лабораторной работе

1. Заданы множества N1 и N2. Вычислить множества:

(N1хN2) Ç (N2хN1);

(N1хN2) È (N2хN1);

(N1 Ç N2)x(N1 Ç N2);

(N1 È N2)x(N1 È N2),

где N1 = {цифры номера зачетной книжки, три последние};

N2 = {цифры даты и номера месяца рождения}.

2. Отношения rиgзаданы на множествеN6={1,2,3,4,5,6}.

Описать отношения r,g,r-1, rg, r-1gсписком пар.

Найти матрицы отношений rиg.

Для каждого отношения определить область определения и область значений.

Определить свойства отношений.

Выделить отношения эквивалентности и построить классы эквивалентности.

Выделить отношения порядка и классифицировать их.

1) r= {(m,n) | m > n }

g= {(m,n) | сравнение по модулю 2}

2) r= {(m,n) | (m - n)делится на 2}

g= {(m,n) | mделитель n }

3) r= {(m,n) | m < n }

g= {(m,n) | сравнение по модулю 3}

4) r= {(m,n) | (m + n)- четно}

g= {(m,n) | m2=n }

5) r= {(m,n) | m / n -степень 2 }

g= {(m,n) | m = n }

6) r= {(m,n) | m / n -четно}

g = {(m,n) | m³n }

7) r= {(m,n) | m / n -нечетно }

g= {(m,n) | сравнение по модулю 4}

8) r= {(m,n) | m * n -четно }

g= {(m,n) | m£n }

9) r= {(m,n) | сравнение по модулю 5}

g= {(m,n) | mделится наn }

10) r= {(m,n) | m- четно, n - четно}

g= {(m,n) | mделительn }

11) r= {(m,n) | m = n }

g= {(m,n) | (m + n)£5 }

12) r={(m,n) | mи n имеют одинаковый остаток от деления на 3}

g= {(m,n) | (m-n)³2}

13) r= {(m,n) | (m + n) делится нацело на 2 }

g = {(m,n) | 2 £(m-n)£4}

14) r= {(m,n) | (m + n) делится нацело на 3 }

g= {(m,n) | m¹n }

15) r= {(m,n) | mи nимеют общий делитель }

g= {(m,n) | m 2£n }

16) r= {(m,n) | (m - n) делится нацело на 2 }

g= {(m,n) | m < n +2 }

17) r= {(m,n) | сравнение по модулю 4 }

g= {(m,n) | m£n }

18) r= {(m,n) | mделится нацело наn }

g= {(m,n) | m¹n , m- четно}

19) r= {(m,n) | сравнение по модулю 3 }

g= {(m,n) | 1 £(m-n)£3}

20) r= {(m,n) | (m - n) делится нацело на 4 }

g= {(m,n) | m¹n }

21) r= {(m,n) | m- нечетно, n - нечетно}

g= {(m,n) | m£n , n-четно}

22) r= {(m,n) | m и n имеют нечетный остаток от деления на 3 }

g= {(m,n) | (m-n)³1}

23) r= {(m,n) | m * n -нечетно }

g= {(m,n) | сравнение по модулю 2}

24) r= {(m,n) | m * n -четно }

g= {(m,n) | 1 £(m-n)£3}

25) r= {(m,n) | (m+ n) - четно}

g= {(m,n) | m не делится нацело на n }

26) r= {(m,n) | m = n }

g= {(m,n) | m делится нацело на n }

27) r= {(m,n) | (m - n )-четно}

g= {(m,n) | m делитель n }

28) r= {(m,n) | (m-n)³2}

g= {(m,n) | m делится нацело на n }

29) r= {(m,n) | m 2 ³ n }

g= {(m,n) | m / n -нечетно}

30) r= {(m,n) | m³n, m -четно}

g= {(m,n) | m и nимеют общий делитель, отличный от 1}

3. Определить является ли заданное отношение f -функциональным, всюду определенным, инъективным, сюръективным, биекцией (R- множество вещественных чисел). Построить график отношения, определить область определения и область значений.

Выполнить это же задание для отношений rи g из пункта 3 лабораторной работы.

1) f={ (x, y) Î R2 | y=1/x +7x }

2) f={ (x, y) Î R2 | x³y }

3) f={ (x, y) Î R2 | y³x }

4) f={ (x, y) Î R2 | y³x, x³ 0 }

5) f={ (x, y) Î R2 | y2 + x2 = 1 }

6) f={ (x, y) Î R2 | 2| y | + | x | = 1 }

7) f={ (x, y) Î R2 | x + y£ 1 }

8) f={ (x, y) Î R2 | x = y2 }

9) f={ (x, y) Î R2 | y = x3 + 1}

10) f={ (x, y) Î R2 | y = -x2 }

11) f={ (x, y) Î R2 | | y | + | x | = 1 }

12) f={ (x, y) Î R2 | x = y -2 }

13) f={ (x, y) Î R2 | y2 + x2 ³1, y> 0 }

14) f={ (x, y) Î R2 | y2 + x2 = 1, x> 0 }

15) f={ (x, y) Î R2 | y2 + x2£ 1, x> 0 }

16) f={ (x, y) Î R2 | x = y2 ,x³ 0 }

17) f={ (x, y) Î R2 | y = sin(3x + p) }

18) f={ (x, y) Î R2 | y = 1 /cos x }

19) f={ (x, y) Î R2 | y = 2| x | + 3 }

20) f={ (x, y) Î R2 | y = | 2x + 1| }

21) f={ (x, y) Î R2 | y = 3x }

22) f={ (x, y) Î R2 | y = e-x }

23) f ={ (x, y)Î R2 | y = e| x | }

24) f={ (x, y) Î R2 | y = cos(3x) - 2 }

25) f={ (x, y) Î R2 | y = 3x2 - 2 }

26) f={ (x, y) Î R2 | y = 1 / (x + 2) }

27) f={ (x, y) Î R2 | y = ln(2x) - 2 }

28) f={ (x, y) Î R2 | y = | 4x -1| + 2 }

29) f={ (x, y) Î R2 | y = 1 / (x2+2x-5)}

30) f={ (x, y) Î R2 | x = y3, y³ - 2 }.

Контрольные вопросы

1.Декартово или прямое произведение множеств.

2.Определение бинарного отношения.

3.Способы описания бинарных отношений.

4.Область определения и область значений.

5.Свойства бинарных отношений.

6.Отношение эквивалентности и классы эквивалентности.

7.Отношения порядка: строгого и нестрого, полного и частичного.

8.Классы вычетов по модулю m.

9.Функциональные отношения.

10. Инъекция, сюръекция, биекция.


Лабораторная работа № 3


Сейчас читают про: