Вихідні співвідношення

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4

ВИЗНАЧЕННЯ ПРУЖНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ІЗОТРОПНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА ДОПОМОГОЮ ТЕНЗОДАТЧИКІВ ОПОРУ

Виконав студент групи Мтх-41

Добуш П.Т

Перевірив Драпака В.О

Львів – 2010

ВИХІДНІ СПІВВІДНОШЕННЯ

Балкою рівного опору називають балку, для якої максимальні нормальні напруження в поперечному перерізі не залежать від його положення вздовж її осі.

Розглянемо консольну балку рівного опору, яка завантажена на кінці зосередженою силою (рис. 1). Нехай балка має прямокутний поперечний переріз, висота якого є постійною, а ширина змінюється. Встановимо закон її зміни.

Рис. 1

Довжину балки позначимо через .

Початок декартової системи координат виберемо в затисненні, направивши вісь по осі балки.

Розглянемо переріз з координатою (рис. 1). В ньому буде виникати згинаючий момент:

(1)

Покажемо, що якщо ширина поперечного перерізу змінюється по закону:

, (2)

то будемо мати балку рівного опору. В формулі (2) - ширина балки в затисненні.

В нашому випадку осьовий момент опору при згині буде рівний:

. (3)

Тут – осьовий момент інерції поперечного перерізу відносно нейтральної лінії.

Беручи до уваги залежності (1) і (3), максимальні напруження в балці будуть рівні:

, (4)

де , , – відповідно, згинаючий момент і осьовий момент опору в затисненні.

Дотичні напруження при поперечному згині знаходяться за формулою Журавського:

. (5)

Тут – статичний момент частини поперечного перерізу, який знаходиться вище досліджуваної точки, відносно нейтральної лінії, – перерізувальна сила, яка в нашому випадку рівна .

Згідно формули (5) дотичні напруження в поперечному перерізі поблизу поверхні балки рівні нулю.

Виділимо поблизу поверхні балки елемент малої товщини та малої довжини (рис. 2).

Рис. 2

Грані виділеного елемента знаходяться на поверхні балки і вони вільні від зовнішнього навантаження. На гранях діють тільки нормальні напруження. На грані ` напруження рівні нулю. Отже, виділений елемент знаходиться в умовах чистого розтягу, для якого осьова і поперечна деформації будуть зв’язані залежністю:

, (6)

де –коефіцієнт Пуасона.

Згідно закону Гука:

. (7)

Враховуючи (4) та (7) знаходимо модуль Юнга матеріалу, з якого виготовлена балка:

. (8)

На основі формули (6) можемо записати співвідношення:

. (9)

Формули (8), (9) є вихідними при виконанні даної роботи.