Гіпербола

ЛЕКЦІЯ 2. КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКА

Коло

Колом називається множина всіх точок площини, віддалених від заданої точки цієї ж площини на одну і ту ж відстань . Точка називається центром, а - радіусом кола.

У прямокутній системі координат рівняння кола має вигляд

, (1)

де - координати її центру, - радіус кола.

Зокрема, якщо центр кола співпадає з початком координат, тобто, , , то рівняння (1) набуде вигляду:

(2)

Приклад 1. Знайдіть координати центра і радіус кола .

Розділивши рівняння на 2, і згрупувавши члени рівняння, одержимо . Доповнимо вирази і до повних квадратів, додавши до першого двочлена 4, а до другого (одночасно до правої частини додається сума цих чисел): .

За формулою (1) маємо, , , тобто - координати центру кола; - радіус кола.

Еліпс

Еліпсом називається множина всіх точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох даних точок і цієї ж площини, які називаються фокусами еліпса, є величина стала і більша, ніж відстань між фокусами.

Канонічне рівняння еліпса:

, (3)

де — велика піввісь, — мала піввісь еліпса.

Якщо , то:

1) координати фокусів: , , де — половина відстані між фокусами (див. рис);

2) числа , і пов’язані співвідношенням

; (4)

3) відстань між фокусами дорівнює ;

Форма еліпса характеризується його ексцентриситетом.

Ексцентриситетом еліпса називається відношення фокусної відстані (відстані між фокусами) до великої осі :

4) (, тому ); (5)

Директрисами еліпса називаються прямі і паралельні малій осі еліпса і віддалені від неї на відстань, що дорівнює ;

5) і - рівняння директриси.

Якщо , то рівняння (3) визначає коло .

Приклад 2. Задане рівняння еліпса . Знайдіть довжини його півосей, координати фокусів, ексцентриситет еліпса.

Запишемо рівняння еліпса у вигляді (3), розділивши обидві його частини на 1176:

Звідси, , .

Використовуючи співвідношення (4), знаходимо і . Отже, і .

За формулою (5) знаходимо .

Гіпербола

Гіперболою називається множина всіх точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох заданих точок і цієї ж площини, що називаються фокусами, є величинастала, менша, ніж відстань між фокусами.

Канонічне рівняння гіперболи:

, (6)

де - дійсна, - уявна піввісь гіперболи. Числа і - відповідно дійсна і уявна осі гіперболи. Для гіперболи (6):

4) координати фокусів: , , де - половина відстані між фокусами (див. рис);

5) числа, , і пов’язані співвідношенням

; (7)

6) відстань між фокусами дорівнює ;

7) точки і називаються вершинами гіперболи, точка - центром гіперболи;

Ексцентриситетом гіперболи називається число:

5) (, тому ). (8)

Прямокутник, центр якого збігається з точкою , а сторони рівні і паралельні осям гіперболи, називається основним прямокутником гіперболи.

Діагоналі основного прямокутника гіперболи лежать на двох прямих, що називаються асимптотами гіперболи; вони визначаються рівняннями

6) (9)

Дві прямі і (див. рисунок), паралельні уявній осі гіперболи і віддалені від неї на відстань, рівну , називаються директрисами гіперболи; вони визначаються рівняннями