Следовательно,. Поэтому, если математическое ожидание выборочной дисперсии известно, то может быть определена генеральная дисперсия а

QL

N (п - 1)

^E(s²).

Поэтому, если математическое ожидание выборочной дисперсии известно, то может быть определена генеральная дисперсия а. Е (s) является несмещенной оценкой генеральной дисперсии. В этом случае, как и при оценке генеральной средней, наиболее вероятно, что мы будем располагать дисперсией только одной выборки и использовать ее для получения оценки генеральной дисперсии. Тогда:

»2 ₌ QL

Ii.

(n - 1) '

Где s

Е< =

*r

Это дает нам несмещенную оценку генеральной дисперсии.

126 Ч. 2. Анализ данных как составная часть принятия решений

а Пример 4.3. Обратимся к примеру 4.1, где мы имели дело с конечной совокупностью, состоящей из чисел: 4, 8, 12, 16, 20, 24. Построим выборочное распределение, формируя выборки, объем которых равен двум наблюдениям, и рассчитаем дисперсию в качестве статистики для каждой выборки. Выборочная дисперсия:

, Z(x-x)²

S».

п

Решение

Таблица 4.4. Выборочные дисперсии, п - 2

Реализованные выборки	Выборочная дисперсия,	Реализованные выборки	Выборочная дисперсия,
4, 8		8,24
4, 12		12, 16
4, 16		12,20
4,20		12,24
4,24		16,20
8, 12		16,24
8, 16		20, 24
8,20

Выборочное распределение дисперсий этих выборок следующее:

Таблица 4.5. Вычисление Е (s ²)

Выборочная дисперсия, s 2	Частота, f	f*'
4 16 36 64 100	5 4 3 2 1	20 64 108 128 100
Итого

Математическое ожидание выборочной дисперсии составляет: E(s')«^-f -28,0.

Z^{f 5}

Отсюда

■'-*5^a-_sV"'>-*i^J1-p!ir«-«-

Гл. 4. Выборка и выборочные распределения

Так как нам известны данные генеральной совокупности, то можем вычислить значение генеральной совокупности непосредственно. Нам известно, что генераль­ная средняя ц = 14, следовательно:

Таблица 4.6.	Вычислениео3
Значение переменной, х	(х - ц) 2
Итого

Отсюда

Z <^х ~ ^ 280

— - 46,6.

О

Это значение совпадает с тем, которое было получено по выборочному распре­делению выборочных дисперсий.

БОЛЬШАЯ (БЕСКОНЕЧНАЯ) ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ Если генеральная совокупность большая, то приблизительно:

(N-1) Тогда выражение несмещенной оценки генеральной дисперсии имеет вид:

.2

П E(s2)

Ert.fe^as:

И (п - 1)

И несмещенная оценка генеральной дисперсии может быть выражена

о*-- ------ -Г, где s-¹--------------------.

(п - 1) п

Следовательно, а может быть записана как:

Р.

о Х<*- *>²!(*- *>*

(п-1)

(п-1)

128 Ч. 2. Анализ данных как составная часть принятия решений

Последнее выражение дает несмещенную оценку генеральной дисперсии. Вы, должно быть, заметили, что несмещенная оценка генеральной дисперсии обычно обозначается:

(п-1)

(обозначение а не используется).

Важно не путать оценку генеральной дисперсии с выборочной дисперсией:

s²

1(*-х)²

Вы должны понимать, какую статистику вы рассчитываете. В этой книге мы

будем обозначать несмещенную оценку генеральной дисперсии как о^, чтобы избежать путаницы.

Если мы имеем дело с выборками из нормальной совокупности, то используем

9 9 9

таблицы х ~ распределения, так как выборочное распределение ns /о подчи­няется х - распределению с (п - 1) степенями свободы (см. 4.4.4).