Введение
Данное пособие написано для того, чтобы помочь студентам, обучающимся на факультете заочного и дистанционного обучения по направлению «Электроэнергетика и электротехника» и профилю «электрооборудование и электрохозяйство предприятий, организаций и учреждений», в изучении линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии, а также в выполнении контрольных работ по высшей математике по соответствующим темам: № 1, №2, №3.
В пособии содержатся три раздела, в каждом из которых имеется необходимый теоретический материал, пример выполнения соответствующей контрольной работы и задания для самостоятельного выполнения в десяти вариантах. Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки (шифра).
Работу следует выполнять в тонкой ученической тетради в клетку. Выполненную работу следует снабдить титульным листом, образец которого можно найти на доске объявлений у деканата.
Поскольку пособие содержит достаточно большой теоретический материал, полезно сохранить его до конца обучения в вузе, так как он может быть востребован при дальнейшем изучении математики и других дисциплин.
|
|
Раздел 1. Контрольная работа по высшей математике №1
Теоретический материал по линейной алгебре
Комплексные числа и действия с ними
Под комплексным числом в алгебраической форме записи понимается выражение где и – действительные числа, а – мнимая единица, для которой справедлива формула
Числа вида отождествляются с действительными числами, числа вида называются чисто мнимыми. Сопряженным числом к числу называется комплексное число Два комплексных числа и равны, если и
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел определяются следующим образом.
1)
2)
3)
Примечание. Формулу умножения двух комплексных чисел не обязательно запоминать, так как она получается, если формально перемножить двучлены и по обычному правилу умножения двучленов и затем заменить на –1.
Примеры.
1. Найти сумму и произведение комплексных чисел и
Находим сумму:
Умножим:
2. Найти частное комплексных чисел и
Для нахождения частного умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю:
Комплексное число можно изобразить точкой на плоскости имеющей координаты На оси изображаются действительные числа, поэтому она называется действительной осью; на оси расположены чисто мнимые числа; она называется мнимой осью.
Можно также сопоставить числу вектор, направленный из начала координат в точку Длина этого вектора , т.е. расстояние от начала координат до точки называется модулем комплексного числа и обозначается
|
|
Из рисунка находим Следовательно:
Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической. Угол , образованный радиус-вектором с положительным направлением действительной оси называется аргументом комплексного числа и обозначается . В инженерных приложениях угол также называется фазой. Величина угла определяется с точностью до слагаемого Главным называется значение , удовлетворяющее условию: .
Главное значение аргумента можно вычислить по следующим формулам:
Пусть – любое действительное число. Символом обозначается комплексное число С помощью этого обозначения всякое комплексное число может быть записано в показательной форме (формула Эйлера):
Пример. Представить в тригонометрической и показательной форме комплексное число
Находим модуль Аргумент находим по формуле:
.
Следовательно