Расчетное задание №1

УСЛОВИЕ:

Уравнение движения материальной точки имеют вид:

и , где A, B, C, D, E – задаются для каждого варианта. Время .

ЗАДАНИЕ:

1. Построить траекторию в координатах xOy.

2. Вычислить (по формуле) перемещение в интервале времени и указать его на графике траектории.

3. Определить аналитически среднюю скорость в интервале времени и обозначить ее направление на графике в произвольном масштабе.

4. Определить мгновенную скорость в заданный момент времени t и обозначить ее направление на графике в произвольном масштабе.

5. Рассчитайте полное а, тангенциальное и нормальное ускорения в заданный момент времени t.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:

Дано:

A= 2 м, В=3 м/с, С=1 м, D= 8 м/с, Е= 2 м/с²,

Уравнения движения принимают вид:

Решение:

1. Для построения траектории необходимо определить значения х, у из уравнений движения в интервале времени от до (рекомендуется через 0,5 с) и полученные результаты свести в таблицу:

t(c)	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5
х(м)	3,5	6,5	9,5	12,5	15,5
у(м)	4,5	8,5	8,5	4,5	-3,5	-9

Масштаб по осям х, у выбирается с учетом предельных значений соответствующих величин (см. таблицу):

Изменение координаты х: (м)

Изменение координаты у: (м)

Построение графика.

Нанести на координатную сетку точки пересечения значений х и у для каждого момента времени, указанного в таблице. Соединить нанесенные точки плавной линией (см. рисунок 1).

Рисунок 1

2. Перемещение определяется по теореме Пифагора:

, где .

- значения координат соответственно в моменты времени и (см. таблицу). Таким образом,

(м), (м), (м).

Вектор перемещения - вектор, соединяющий начальную и конечную точки графика (см. рисунок 1).

3. По определению средняя скорость . С учетом значений (м) и (с): (м/с).

Направление средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения (см. рисунок 1).

4. По определению мгновенная скорость .

Она направлена по касательной к траектории. В момент времени (с) вектор является касательной в точке с координатами (см. таблицу) (м), (м) (см. рисунок 1).

Модуль мгновенной скорости определяется по теореме Пифагора:

, где

(м/с)=const, - проекции скорости на оси х и у.

Для момента времени (с) проекции скорости принимают значения: (м/с), (м/с) (знак «-» указывает, что направлена в противоположную сторону положительному направлению оси у).

Модуль мгновенной скорости (м/с) (см. рисунок 2)

5. Полное ускорение ,

где - проекции ускорения на оси х и у.

Учитывая, что (из п. 4), получаем:

(м/с²)=const.

Полное ускорение (м/с²).

Рисунок 2

Для определения тангенциального и нормального ускорений необходимо представить схему скоростей (рисунок 2). Здесь же указать полное ускорение, которое направлено вертикально вниз, поскольку , а имеет отрицательную величину (п.5). Тангенциальное и нормальное ускорения являются составляющими полного ускорения и направлены соответственно вдоль и перпендикулярно мгновенной скорости (рисунок 2). Отмеченные углы равны как накрест лежащие. Из подобия выделенных треугольников следует, что: