Длина и направление вектора

Пусть , , ‑ три взаимно перпендикулярные оси в трёхмерном пространстве (оси координат), исходящие из общей точки (начало координат), образуют правую тройку (т.е. для наблюдателя, находящегося по направлению оси , кратчайший поворот оси к оси происходит против часовой стрелки).

Для каждой точки пространства существует её радиус-вектор .

Определение 1. Под декартовыми прямоугольными координатами , , точки понимаются проекции её радиус вектора на соответствующие оси координат, т.е. , , . Точка с координатами , , обозначается , где ‑ абсцисса, ‑ ордината, ‑ аппликата.

Для нахождения координат, через точку проводятся три плоскости перпендикулярные осям , , . Тогда на этих осях получатся направленные отрезки (рис.1)

, , ,

численно равные координатам точки .

Радиус-вектор ‑ диагональ параллепипеда, поэтому

.

Если обозначить , , () углы, образованные радиус-вектором с координатными осями , , , то

, , .

, , называются направляющими косинусами радиус-вектора .

Так как

,

то и . Следовательно,

сумма квадратов направляющих косинусов радиус-вектора точки пространства равна 1.

Определение 2. Если в пространстве задан вектор , то проекции этого вектора на оси координат

, ,

называются координатами вектора . При этом вектор записывается так: .

Так как вектор свободный, то его можно рассматривать как радиус-вектор точки . Отсюда получаем длину вектора

,

т.е. модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Направляющие косинусы вектора определяются из уравнений

, , ,

т.е.

, , .

Пример. Найти длину и направление вектора .

Решение. , , , .