Ответ: 28

Решение. Поставим в каждой красной точке 0, в каждой желтой 1, в каждой зеленой 2. Тогда каждое число на дуге с концами разного цвета равно сумме чисел в ее концах. Поэтому сумма чисел на дугах не превосходит удвоенной суммы чисел в точках, равной 2(8 ´ 0 + 6 ´ 1 + 4 ´ 2) = 28. Равенство достигается, когда все дуги имеют концы разного цвета.

Покажем, что это возможно. Расставим на окружности 8 красных точек, между ними поставим 6 желтых и 2 зеленых. Оставшиеся 2 зеленые точки поставим между красными и желтыми (это возможно, поскольку образовалось 12 дуг между красными и желтыми точками). Все дуги имеют концы разного цвета, сумма чисел на них равна 28.

Комментарий. Рассмотрен пример, дающий верный ответ — 2 балла; получена оценка — 3 балла.

6. На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и P так, что Отрезок MP пересекает диагональ AC в точке G. Найдите отношение

Ответ:

Решение. Возьмем на диагонали АС такие точки K и N, что В K || MP и DN || MP. Треугольники ABK и AMG подобны, так же как и треугольники ADN и APG, отсюда

Складывая равенства, получаем:

Так как стороны треугольников ABK и CDN попарно параллельны и АВ = CD, эти треугольники равны. Тогда AK = CN и AK + AN = CN + AN = AC. Таким образом, откуда находим